三角函数期末必做试题及答案分析

三角函数期末必做试题及答案分析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.在单位圆中，点P（cosα，sinα）位于第二象限，则α的取值范围是（）（2分）A.0°,90°B.90°,180°C.180°,270°D.270°,360°【答案】B【解析】第二象限内，cosα0且sinα0，故α的取值范围为90°,180°

2.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.2π/3【答案】A【解析】周期T=2π/ω=2π/2=π

3.函数gx=cosx-π/4的图像关于哪条直线对称？（）（2分）A.x=π/4B.x=-π/4C.x=π/2D.x=-π/2【答案】A【解析】cos函数图像关于y轴对称，即x=π/4对称

4.已知sinθ=1/2，且θ在第一象限，则cosθ的值是（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】A【解析】由sin²θ+cos²θ=1，得cosθ=√1-sin²θ=√1-1/4=√3/

25.函数y=tan3x-π/4的图像的对称中心是（）（2分）A.π/12,0B.-π/12,0C.π/4,0D.-π/4,0【答案】A【解析】tan函数图像的对称中心为π/3k-π/12,0，k∈Z，当k=0时为π/12,

06.函数fx=2sin3x-π/6+1的最大值是（）（2分）A.2B.3C.0D.-1【答案】B【解析】sin函数最大值为1，故fx最大值为2×1+1=

37.已知α是锐角，且tanα=√3，则sinα的值是（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1D.√3/3【答案】B【解析】由tanα=sinα/cosα=√3，得sinα=√3cosα，又sin²α+cos²α=1，解得sinα=√3/

28.函数fx=asinbx+c+d的图像向右平移2个单位后为gx，则（）（2分）A.c减小2B.c增加2C.b减小2D.b增加2【答案】B【解析】平移公式fx-a=gx，得c=c-2b，即c增加2b

9.函数fx=sin²x-cos²x的值域是（）（2分）A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-1,2]D.[-2,1]【答案】A【解析】fx=-cos²x-sin²x=-cos2x，值域为[-1,1]

10.函数fx=|sinx|的周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.2π/3【答案】B【解析】|sinx|周期为原函数周期的一半，即2π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数是周期函数？（）A.fx=sin2xB.fx=cosx/2C.fx=tan3xD.fx=exE.fx=sin²x【答案】A、B、C、E【解析】A、B、C、E均为周期函数，D为非周期函数

2.函数fx=sinx+π/6的图像经过哪些变换可得到gx=sin2x-π/3？（）A.横坐标缩放为原来的1/2B.横坐标伸长为原来的2倍C.向右平移π/4D.向左平移π/4E.向上平移1/2【答案】A、C【解析】由fx→gx，需横坐标缩放为1/2，即A正确；再向右平移π/4得到gx，即C正确

3.下列关于三角函数性质的说法正确的有？（）A.sinx+π=sinxB.cosx+2π=cosxC.tanx+π=tanxD.sin-x=sinxE.cos-x=cosx【答案】A、B、C、E【解析】A、B、C、E均正确，D错误，sin-x=-sinx

4.函数fx=asinbx+c在区间[0,π]上至少有一个零点的条件是？（）A.a=0B.b≠0C.c=0D.|a|≥1E.b=0【答案】B、D【解析】fx有零点需a≠0且|a|≥1，且b≠0，E错误

5.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4πE.π/4【答案】A【解析】周期为minT1,T2=minπ,2π=π

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知cosα=-√3/2，α在第三象限，则sinα的值是______（4分）【答案】-1/2【解析】sin²α=1-cos²α=1-3/4=1/4，α在第三象限sin0，故sinα=-1/

22.函数fx=2sin3x-π/6+1的图像向左平移______个单位后为偶函数（4分）【答案】π/9【解析】平移c=-π/9，得fx=2sin3x+π/3+1，此时函数为偶函数

3.函数fx=sinx-π/4的图像关于点______对称（4分）【答案】π/4,0【解析】sin函数图像关于π/2+kπ对称，即π/4,

04.函数fx=tan2x-π/3的图像在区间______内无定义（4分）【答案】π/6+kπ,kπ+π/3，k∈Z【解析】tan函数无定义点为2x-π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2+5π/

125.已知sinα=1/3，α为锐角，则tanα的值是______（4分）【答案】√8/5【解析】cosα=√1-sin²α=√8/3，tanα=sinα/cosα=1/3×3/√8=√8/8=√8/5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=sinx+π/2的图像与gx=cosx的图像完全相同（）（2分）【答案】（√）【解析】sinx+π/2=cosx，图像相同

2.若sinα+cosα=1，则α=0°或90°（）（2分）【答案】（×）【解析】sinα+cosα=√2sinα+π/4=1，得α=2kπ+π/4，k∈Z

3.函数fx=sin²x+cos²x的值域是[0,1]（）（2分）【答案】（×）【解析】值域为[1,1]，即恒为

14.函数fx=sin2x在区间[0,π]上单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】在[0,π/2]单调递增，[π/2,π]单调递减

5.函数fx=tanx+π/4的图像的对称中心是π/4,0（）（2分）【答案】（×）【解析】对称中心为π/4+kπ-π/4,0，即kπ,0，k∈Z

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知sinα=3/5，α为锐角，求cosα和tanα的值（4分）【答案】cosα=4/5，tanα=3/4【解析】cosα=√1-sin²α=√1-9/25=4/5，tanα=sinα/cosα=3/

42.函数fx=2sin3x-π/6+1的图像经过哪些变换可得到gx=sin3x+π/3-1？（4分）【答案】向下平移2个单位【解析】fx→gx需向下平移2个单位

3.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是多少？并写出其解析式（4分）【答案】π，fx=√2sin2x+π/4【解析】周期为π，fx=√2sin2x+π/4

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=sin2x+cos2x的单调性（10分）【答案】

（1）化简fx=√2sin2x+π/4

（2）单调递增区间-π/4+2kπ≤2x+π/4≤π/4+2kπ，解得kπ-3π/8≤x≤π/8+kπ

（3）单调递减区间π/4+2kπ≤2x+π/4≤5π/4+2kπ，解得kπ+π/8≤x≤3π/8+kπ

2.已知sinα+cosα=√2，求sinα+π/4的值（10分）【答案】

（1）sinα+cosα=√2，两边平方得1+2sinαcosα=2，故sinαcosα=1/2

（2）sinα+π/4=sinαcosα+cosαsinα=1【解析】利用和角公式和平方关系求解

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.函数fx=sin2x-π/3+1的图像经过哪些变换可得到gx=2sin2x+1？（10分）【答案】

（1）横坐标缩放为原来的1/2，即fx→sin4x-π/3+1

（2）纵坐标缩放为原来的2倍，即sin4x-π/3+1→2sin4x-π/3+2

（3）向下平移1个单位，即2sin4x-π/3+2→2sin4x-π/3+1=gx

2.已知函数fx=sin2x+φ的图像经过点π/6,0，求φ的值（15分）【答案】

（1）代入点π/6,0，得sin2×π/6+φ=0，即sinπ/3+φ=0

（2）解得π/3+φ=kπ，φ=kπ-π/3，k∈Z

（3）最小正值为2π-π/3=5π/3【解析】利用正弦函数零点性质求解

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.A

5.A

6.B

7.B

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.ABCE

2.AC

3.ABCE

4.BD

5.A

三、填空题

1.-1/

22.π/

93.π/4,

04.π/6+kπ,kπ+π/3，k∈Z

5.√8/5

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.×

5.×

五、简答题

1.cosα=4/5，tanα=3/

42.向下平移2个单位

3.π，fx=√2sin2x+π/4

六、分析题

1.单调递增区间kπ-3π/8≤x≤π/8+kπ；单调递减区间kπ+π/8≤x≤3π/8+kπ

2.sinα+π/4=1

七、综合应用题

1.

（1）横坐标缩放为1/2；

（2）纵坐标缩放为2倍；

（3）向下平移1个单位

2.φ=kπ-π/3，最小正值为5π/3。