专业学位联考历年试题及答案

专业学位联考历年试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列关于矩阵运算的表述正确的是（）（2分）A.任何两个方阵相乘仍为方阵B.方阵的乘法满足交换律C.方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式D.非零方阵的逆矩阵一定存在【答案】C【解析】方阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等，这是行列式的性质之一

2.在概率论中，事件A的概率PA满足（）（2分）A.0PA1B.-1≤PA≤1C.0≤PA≤1D.PA=1-PA【答案】C【解析】事件A的概率PA必须在0到1之间，包括0和

13.微积分中，函数fx在点x0处可导，则（）（2分）A.fx在x0处连续B.fx在x0处可微C.fx在x0处取极值D.fx在x0处导数为0【答案】A【解析】函数在某点可导则必在该点连续，但连续不一定可导

4.线性代数中，向量组α1,α2,α3线性无关的充分必要条件是（）（2分）A.存在非零解使得c1α1+c2α2+c3α3=0B.α1,α2,α3中任意两个向量线性无关C.秩rα1,α2,α3=3D.α1,α2,α3的行列式不为0【答案】C【解析】向量组线性无关的充分必要条件是其秩等于向量个数

5.在统计学中，样本均值的分布称为（）（2分）A.总体分布B.样本分布C.t分布D.正态分布【答案】B【解析】样本均值的分布称为样本分布

6.下列关于积分的表述正确的是（）（2分）A.∫[a,b]fxdx=∫[a,b]ftdtB.∫[a,b]cfxdx=c∫[a,b]fxdxC.∫[a,b]fxdx≥0D.∫[a,b]fxdx=∫[a,c]fxdx+∫[c,b]fxdx【答案】B【解析】积分的常数因子可以提到积分号外

7.在复变函数中，函数fz=1/z在z=0处（）（2分）A.连续B.可导C.解析D.有奇点【答案】D【解析】函数fz=1/z在z=0处有奇点

8.在常微分方程中，方程y+4y=0的通解为（）（2分）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1cos2x+C2sin2xC.y=C1x+C2D.y=C1e^x+C2e^-x【答案】B【解析】特征方程r^2+4=0的根为±2i，因此通解为三角函数形式

9.在离散数学中，命题公式G的永真式等价于（）（2分）A.G的析取范式B.G的合取范式C.G的主析取范式D.G的主合取范式【答案】C【解析】命题公式的主析取范式等价于其永真式

10.在图论中，连通图的最小生成树（）（2分）A.可能不唯一B.一定唯一C.不存在D.必定存在【答案】A【解析】连通图的最小生成树可能存在多个，取决于图的边和权重

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于线性空间的表述正确的有（）（4分）A.线性空间中的零向量是唯一的B.线性空间中任意两个向量的和仍在该空间C.线性空间中任意向量的数乘仍在该空间D.线性空间必须含有至少两个向量【答案】A、B、C【解析】线性空间满足八条运算律，其中零向量唯一，加法和数乘封闭

2.下列关于概率分布的表述正确的有（）（4分）A.二项分布是离散型分布B.正态分布是连续型分布C.泊松分布是离散型分布D.均匀分布可以是离散型或连续型【答案】A、B、C【解析】均匀分布只能是连续型分布，不能是离散型

3.下列关于积分的表述正确的有（）（4分）A.∫[a,b]fxdx表示曲线y=fx与x轴围成的面积B.∫[a,b]cfxdx=c∫[a,b]fxdxC.∫[a,b]fxdx=∫[a,c]fxdx+∫[c,b]fxdxD.∫[a,b]fxdx的值与积分变量无关【答案】B、C、D【解析】选项A只有当fx≥0时才成立

4.下列关于矩阵的表述正确的有（）（4分）A.可逆矩阵一定是方阵B.任何方阵都有逆矩阵C.可逆矩阵的秩等于其阶数D.可逆矩阵的行列式不为0【答案】A、C、D【解析】只有方阵才可能可逆，可逆方阵的行列式非0且秩等于阶数

5.下列关于微分方程的表述正确的有（）（4分）A.线性微分方程的解可以叠加B.齐次线性微分方程的通解包含任意常数C.非齐次线性微分方程的通解等于其特解加上对应齐次方程的通解D.微分方程的解一定在其定义域内连续【答案】A、B、C【解析】微分方程的解不一定连续，可能存在间断点

三、填空题（每题4分，共32分）

1.设函数fx在区间[a,b]上连续，则根据微积分基本定理，∫[a,b]fxdx=______-______（4分）【答案】fb；fa

2.在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中______的最大个数（4分）【答案】线性无关的列向量（或行向量）

3.设向量α=1,2,3，β=4,5,6，则α与β的向量积α×β=______（4分）【答案】-3,6,-

34.在概率论中，事件A与事件B互斥的定义是______（4分）【答案】PA∩B=

05.设随机变量X的期望EX=2，方差DX=

0.25，则根据切比雪夫不等式，对于任意ε0，有P|X-2|≥ε≤______（4分）【答案】

0.25/ε^

26.在复变函数中，函数fz=z^2在z=1处的导数f1=______（4分）【答案】

27.设微分方程y-3y+2y=0，其特征方程为______（4分）【答案】r^2-3r+2=

08.在图论中，一棵有n个顶点的树有______条边（4分）【答案】n-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个不相交的集合的并集等于它们的补集的交集（）（2分）【答案】（×）【解析】正确的表述是并集的补集等于补集的交集

2.如果函数fx在点x0处可导，则fx在x0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】这是可导与连续的关系定理

3.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB是n阶方阵（）（2分）【答案】（×）【解析】AB是m×m矩阵

4.如果随机变量X的分布函数是Fx，则PaX≤b=Fb-Fa（）（2分）【答案】（√）【解析】这是概率分布函数的基本性质

5.在线性规划中，如果可行解集是空集，则该线性规划无解（）（2分）【答案】（√）【解析】可行解集为空意味着没有满足所有约束的解

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述矩阵的特征值与特征向量的定义及其关系（4分）【答案】特征值与特征向量定义设A为n阶方阵，若存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是A的特征值，x是对应于λ的特征向量关系特征向量x表示在矩阵A作用下，方向保持不变（只改变长度）的非零向量，而特征值λ表示向量x的长度变化倍数

2.简述全概率公式及其适用条件（4分）【答案】全概率公式若事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组（即互斥且它们的并集为全集），且PBi0，则对任意事件A，有PA=ΣPA|BiPBi适用条件事件组B1,B2,...,Bn必须互斥且完备，且条件概率PA|Bi和事件概率PBi已知

3.简述拉格朗日中值定理的表述及其几何意义（4分）【答案】拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何意义表示在曲线y=fx上存在一点，该点的切线斜率等于曲线两端点连线的斜率

4.简述贝叶斯公式的应用场景（4分）【答案】贝叶斯公式应用场景主要用于根据新的观测数据更新对事件的先验概率，常见于以下情况

（1）医学诊断根据检测结果更新疾病概率

（2）信用评估根据客户行为更新违约概率

（3）机器学习根据训练数据更新分类模型参数

（4）故障诊断根据检测到的症状更新故障概率

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性、极值和凹凸性（10分）【答案】

（1）单调性fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1令fx=0，得x=±1在区间[-2,-1和1,2]上，fx0，函数单调递增在区间-1,1上，fx0，函数单调递减

（2）极值f-1=2，f1=-2x=-1处取极大值2，x=1处取极小值-2

（3）凹凸性fx=6x令fx=0，得x=0在区间-∞,0上，fx0，函数凹向下在区间0,+∞上，fx0，函数凹向上

2.分析线性方程组Ax=b的解的存在性和唯一性条件，并举例说明（10分）【答案】

（1）解的存在性当且仅当增广矩阵A|b的秩等于系数矩阵A的秩，即rA=rA|b时，方程组有解

（2）解的唯一性当且仅当rA=n（n为未知数个数）且rA=rA|b时，方程组有唯一解当rA=rA|bn时，方程组有无穷多解当rA≠rA|b时，方程组无解举例说明

①唯一解A=[[1,0],[0,1]]，b=[2,3]，rA=2=rA|b，有唯一解x=[2,3]

②无穷多解A=[[1,1],[2,2]]，b=[2,4]，rA=1=rA|b2，有无穷多解

③无解A=[[1,1],[1,2]]，b=[3,4]，rA=2≠rA|b=3，无解

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设线性方程组为x1+2x2+x3=32x1+5x2+3x3=8x1+3x2+2x3=5

（1）用高斯消元法求解该方程组（15分）

（2）分析该方程组的解的结构（10分）【答案】

（1）高斯消元法增广矩阵[[1,2,1|3],[2,5,3|8],[1,3,2|5]]第一步消去第二行和第三行的首元R2=R2-2R1→[[1,2,1|3],[0,1,1|2],[1,3,2|5]]R3=R3-R1→[[1,2,1|3],[0,1,1|2],[0,1,1|2]]第二步消去第三行的第二元R3=R3-R2→[[1,2,1|3],[0,1,1|2],[0,0|0]]解得x3=t（任意数），x2=2-x3=2-t，x1=3-2x2-x3=3-22-t-t=t-1通解为[[x1|x2|x3]]=[[t-1|2-t|t]]

（2）解的结构分析该方程组有无穷多解，解空间是一维的（自由变量x3），通解可以表示为x=[t-1,2-t,t]=[-1,2,0]+t[1,-1,1]其中特解为[-1,2,0]，基础解系为[1,-1,1]

2.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y={cx+y0≤x≤1,0≤y≤x{0其他

（1）求常数c的值（10分）

（2）求边缘概率密度函数fXx和fYy（15分）【答案】

（1）求常数c∫[0,1]∫[0,x]cx+ydydx=1∫[0,1]c[xy+y^2/2]∣[0,x]dx=1∫[0,1]c[x^2+x^2/2]dx=1∫[0,1]3c/2x^2dx=13c/2×1/3=1c=2/3

（2）求边缘概率密度fXx=∫[0,x]fx,ydy=∫[0,x]2/3x+ydy=2/3[xy+y^2/2]∣[0,x]=2/3[x^2+x^2/2]=x^2fYy=∫[y,1]fx,ydx=∫[y,1]2/3x+ydx=2/3[x^2/2+xy]∣[y,1]=2/3[1/2+y-y^2/2+y^2]=1-y^2完整标准答案（最后一页）

一、单选题

1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.B

7.D

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、C

3.B、C、D

4.A、C、D

5.A、B、C

三、填空题

1.fb；fa

2.线性无关的列向量（或行向量）

3.-3,6,-

34.PA∩B=

05.

0.25/ε^

26.

27.r^2-3r+2=

08.n-1

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.特征值与特征向量定义设A为n阶方阵，若存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是A的特征值，x是对应于λ的特征向量关系特征向量x表示在矩阵A作用下，方向保持不变（只改变长度）的非零向量，而特征值λ表示向量x的长度变化倍数

2.全概率公式若事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组（即互斥且它们的并集为全集），且PBi0，则对任意事件A，有PA=ΣPA|BiPBi适用条件事件组B1,B2,...,Bn必须互斥且完备，且条件概率PA|Bi和事件概率PBi已知

3.拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何意义表示在曲线y=fx上存在一点，该点的切线斜率等于曲线两端点连线的斜率

4.贝叶斯公式应用场景主要用于根据新的观测数据更新对事件的先验概率，常见于以下情况

（1）医学诊断根据检测结果更新疾病概率；

（2）信用评估根据客户行为更新违约概率；

（3）机器学习根据训练数据更新分类模型参数；

（4）故障诊断根据检测到的症状更新故障概率

六、分析题

1.单调性fx=3x^2-3=3x-1x+1令fx=0，得x=±1在区间[-2,-1和1,2]上，fx0，函数单调递增在区间-1,1上，fx0，函数单调递减极值f-1=2，f1=-2x=-1处取极大值2，x=1处取极小值-2凹凸性fx=6x令fx=0，得x=0在区间-∞,0上，fx0，函数凹向下在区间0,+∞上，fx0，函数凹向上

2.解的存在性当且仅当增广矩阵A|b的秩等于系数矩阵A的秩，即rA=rA|b时，方程组有解解的唯一性当且仅当rA=n（n为未知数个数）且rA=rA|b时，方程组有唯一解当rA=rA|bn时，方程组有无穷多解当rA≠rA|b时，方程组无解举例说明

①唯一解A=[[1,0],[0,1]]，b=[2,3]，rA=2=rA|b，有唯一解x=[2,3]

②无穷多解A=[[1,1],[2,2]]，b=[2,4]，rA=1=rA|b2，有无穷多解

③无解A=[[1,1],[1,2]]，b=[3,4]，rA=2≠rA|b=3，无解

七、综合应用题

1.高斯消元法增广矩阵[[1,2,1|3],[2,5,3|8],[1,3,2|5]]第一步消去第二行和第三行的首元R2=R2-2R1→[[1,2,1|3],[0,1,1|2],[1,3,2|5]]R3=R3-R1→[[1,2,1|3],[0,1,1|2],[0,1,1|2]]第二步消去第三行的第二元R3=R3-R2→[[1,2,1|3],[0,1,1|2],[0,0|0]]解得x3=t（任意数），x2=2-x3=2-t，x1=3-2x2-x3=3-22-t-t=t-1通解为[[x1|x2|x3]]=[[t-1|2-t|t]]解的结构分析该方程组有无穷多解，解空间是一维的（自由变量x3），通解可以表示为x=[t-1,2-t,t]=[-1,2,0]+t[1,-1,1]其中特解为[-1,2,0]，基础解系为[1,-1,1]

2.求常数c∫[0,1]∫[0,x]cx+ydydx=1∫[0,1]c[xy+y^2/2]∣[0,x]dx=1∫[0,1]c[x^2+x^2/2]dx=1∫[0,1]3c/2x^2dx=13c/2×1/3=1c=2/3求边缘概率密度fXx=∫[0,x]fx,ydy=∫[0,x]2/3x+ydy=2/3[xy+y^2/2]∣[0,x]=2/3[x^2+x^2/2]=x^2fYy=∫[y,1]fx,ydx=∫[y,1]2/3x+ydx=2/3[x^2/2+xy]∣[y,1]=2/3[1/2+y-y^2/2+y^2]=1-y^2。