亭湖二模数学考试试题及答案

亭湖二模数学考试试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】函数fx=ax^2+bx+c的图像开口方向由二次项系数a决定，a0时开口向上

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}，A∩B={1}

3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）（2分）A.75°B.105°C.135°D.165°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-60°-45°=75°

4.若向量a=3,-1，b=-1,2，则向量a+b等于（）（2分）A.2,1B.4,1C.2,-3D.4,-3【答案】A【解析】向量a+b=3-1,-1+2=2,

15.某校高三

（1）班有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，则抽到3名男生的概率为（）（2分）A.3/50B.3/10C.1/125D.24/125【答案】D【解析】P3名男生=C30,3/C50,3=24/

1256.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期T=2π/|ω|，故T=2π/2=π

7.若复数z=1+i，则z^2等于（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

8.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则公差d等于（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】a_5=a_1+4d，故10=2+4d，解得d=

29.若fx=x^3-ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则a+b+c等于（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，f1=1-a+b+c=极值，联立得a+b+c=

510.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆方程化为标准式x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.非直角三角形一定是钝角三角形D.函数y=1/x在定义域内单调递减【答案】A、D【解析】A对，空集是任何集合的子集；B错，如a=1b=-2时a^2b^2；C错，可以是锐角三角形；D对，1/x在定义域内单调递减

2.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=2-xC.y=1/xD.y=x^3【答案】A、D【解析】y=x^2在0,1上递增；y=2-x递减；y=1/x递减；y=x^3递增

3.以下不等式成立的是（）（4分）A.1/2√2/3B.log_231C.2^-11/2^3D.1/3^-21/2^-1【答案】B、D【解析】A错，1/2≈

0.5，√2/3≈

0.47；B对，log_23log_22=1；C错，2^-1=1/2，1/2^3=1/8；D对，1/3^-2=9，1/2^-1=2，

924.关于函数fx=ax^2+bx+c，下列说法正确的是（）（4分）A.若a0，则fx有最小值B.若△=b^2-4ac0，则fx无零点C.若fx是偶函数，则b=0D.若fx图像过原点，则c=0【答案】A、C、D【解析】A对，a0时开口向上有最小值；B对，△0无实根；C对，偶函数f-x=fx，故b=0；D对，f0=c，过原点则c=

05.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则下列说法正确的是（）（4分）A.a_3=18B.a_1=2C.a_5=486D.a_6=2916【答案】A、C、D【解析】设公比为q，a_4=a_2q^2，54=6q^2，q=3，故a_3=6×3=18；a_1=6/3^2=2；a_5=54×3^2=486；a_6=54×3^3=2916

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若方程x^2+px+q=0的两根之和为3，两根之积为-2，则p+q=______（4分）【答案】1【解析】由韦达定理，p=-3，q=-2，故p+q=

12.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，BC=6，则AC=______（4分）【答案】2√6【解析】由正弦定理，AC/BC=sinB/sinA，AC=6×√3/2÷√2=3√3÷√2=3√6/2=2√

63.函数y=2cos3x-π/4的最大值为______，最小正周期为______（4分）【答案】2；2π/3【解析】最大值为2；周期T=2π/

34.在复平面内，复数z=1+i对应的点位于______象限（4分）【答案】第一【解析】实部为1，虚部为1，位于第一象限

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x^2=y^2，则x=y（）（2分）【答案】（×）【解析】x=1，y=-1时x^2=y^2但x≠y

2.函数y=tanx+π/2是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】y=tanx+π/2=-cotx，是偶函数

3.在等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q（）（2分）【答案】（√）【解析】a_m+a_n=a_1+m-1d+a_1+n-1d=2a_1+m+n-2d，a_p+a_q同理，故成立

4.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数

5.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0与x轴相交（）（2分）【答案】（√）【解析】令y=0，得x^2-4x-3=0，△=16+12=280，故相交

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=2sin2x+π/3-1的振幅、周期和初相（5分）【答案】振幅为2；周期为π；初相为π/3【解析】振幅A=2；周期T=2π/2=π；初相φ=π/

32.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求a_15（5分）【答案】40【解析】设首项为a_1，公差为d，a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得d=5/3，a_1=2/3，a_15=a_1+14d=2/3+14×5/3=

403.解不等式x^2-3x+20（5分）【答案】x1或x2【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故不等式解为x1或x2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2（10分）

（1）求函数的极值点；（5分）

（2）判断函数在-∞,1和1,+∞上的单调性（5分）【答案】

（1）极值点为x=0和x=2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-60，f2=60，故x=0为极大值点，x=2为极小值点

（2）在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递增再递减【解析】fx=3xx-2，当x∈-∞,0时fx0，单调递增；当x∈0,1时fx0，单调递减；当x∈1,+∞时fx0，单调递增

2.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，BC=8（10分）

（1）求角B的大小；（5分）

（2）求△ABC的面积（5分）【答案】

（1）角B=60°【解析】由余弦定理，cosB=AB^2+AC^2-BC^2/2AB×AC=25+49-64/2×5×7=10/70=1/7，故B=arccos1/7≈60°

（2）面积S=12√3【解析】由正弦定理，sinB=BC/AC×sinA=8/7×sinA，sinA=7/8sinB，S=1/2×AB×AC×sinA=1/2×5×7×8/7sinB=20sinB≈20×√3/2=12√3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元设销售量为x件（25分）

（1）写出利润Lx的表达式；（10分）

（2）求当销售量为多少时，工厂开始盈利？（10分）

（3）求当销售量为多少时，工厂获得最大利润？（5分）【答案】

（1）Lx=30x-10万元【解析】Lx=收入-成本=80x-10+50x万元=30x-10万元

（2）销售量大于1/3万件时开始盈利【解析】Lx0，30x-100，x1/3万件

（3）销售量为5万件时利润最大【解析】Lx为一次函数，在x=5万件时取得最大值30×5-10=140万元

2.某班级组织一次活动，需要租用汽车若租用一辆汽车，每辆租金为1000元，每辆车限载30人；若租用大客车，每辆租金为1500元，每辆车限载45人已知参加活动的师生共有200人，且需要至少租用2辆大客车（25分）

（1）写出总租金y的表达式；（10分）

（2）求至少需要租用多少辆大客车？（10分）

（3）求租用大客车数量最少时，总租金最少是多少？（5分）【答案】

（1）y=1500x+1000200-45x/30【解析】设租用大客车x辆，则需租用汽车200-45x/30辆，总租金y=1500x+1000200-45x/30

（2）至少需要租用3辆大客车【解析】200-45x≥30x≥2，解得x≥

3.56，故至少租用4辆，但需至少2辆大客车，故x≥3

（3）租用3辆大客车时总租金最少，为13,500元【解析】当x=3时，y=1500×3+1000200-45×3/30=13,500元。