全国三卷数学试卷试题与答案揭秘

全国三卷数学试卷试题与答案揭秘

一、单选题

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=e^x【答案】C【解析】在区间（0，+∞）上，函数y=1/x是单调递减的

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（）（2分）A.[-1，4]B.-1，4C.[-1，4D.-1，4]【答案】A【解析】由A∪B=A可得B⊆A，解方程x^2-3x+2=0得A={1，2}，因此B也只能是{1}，{2}，{1，2}或空集解方程x^2-mx+2=0，通过判别式Δ=m^2-8判断根的情况，得到m的取值范围为[-1，4]

3.已知向量a=1，2，b=3，-1，则向量a+b的模长是（）（2分）A.√10B.2√2C.√13D.√20【答案】C【解析】向量a+b=1+3，2-1=4，1，其模长为√4^2+1^2=√

174.若复数z满足z^2=1，则z的取值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】解方程z^2=1得z=±

15.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则其前n项和S_n的表达式是（）（2分）A.n^2B.nn+1C.n^2+nD.n^2-1【答案】A【解析】等差数列前n项和公式为S_n=n/2[2a_1+n-1d]，代入a_1=1，d=2得S_n=n/2[2+2n-1]=n^

26.某校高三年级有500名学生，为了解学生的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，这种抽样方法是（）（2分）A.分层抽样B.系统抽样C.简单随机抽样D.整群抽样【答案】C【解析】随机抽取100名学生，每个学生被抽中的概率相等，属于简单随机抽样

7.函数fx=|x-1|在区间[0，3]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1时取得最小值

08.若直线l y=kx+1与圆C x^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.-2，2B.-∞，-2∪2，+∞C.-1，1D.-∞，-1∪1，+∞【答案】A【解析】将直线方程代入圆方程，得到1+k^2x^2+2kx-3=0，判别式Δ=4k^2+121+k^20，解得k∈R，但需排除使直线过圆心的k值，即k∈-2，

29.设函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，若fx在区间[0，+∞上是增函数，则f-2的值为（）（2分）A.-1B.1C.-2D.2【答案】C【解析】由fx是奇函数得f-x=-fx，故f-2=-f2，又fx在[0，+∞上增，f2f1=1，所以f-2-

110.已知三棱锥A-BCD的底面BCD是边长为2的正三角形，高为3，则其体积为（）（2分）A.2√3B.2√6C.3√3D.6√2【答案】C【解析】三棱锥体积V=1/3×底面积×高=1/3×√3/4×2^2×3=√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若函数fx是偶函数，则其图像关于y轴对称D.若△ABC中，a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集；偶函数图像关于y轴对称；若ab，则a^2b^2不一定成立，如a=1，b=-2；勾股定理的逆定理

2.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=√xD.y=sinx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fx，x^3，1/x，sinx都是奇函数，√x不是奇函数

3.若实数x满足x^2-2x-30，则下列不等式成立的有（）（4分）A.x^2+x-60B.x^2-3x+20C.x^2+4x+30D.x^2-5x+60【答案】A、D【解析】解不等式x^2-2x-30得x-1或x3，检验各不等式，只有A、D成立

4.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，则下列说法正确的有（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx在x=0处取得极小值C.fx在x=1处为0D.fx的图像是一个开口向上的抛物线【答案】A、C【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，检验得x=1时为极大值，f1=0，fx不是抛物线

5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-2bccosA，则下列结论正确的有（）（4分）A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形【答案】B【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA得cosA=0，故A=90°，△ABC是直角三角形

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知向量a=3，1，b=-1，2，则向量2a-3b的坐标是______（4分）【答案】9，-4【解析】2a-3b=23，1-3-1，2=6，2--3，6=9，-

42.函数fx=e^x+lnx在区间0，1]上的最大值是______（4分）【答案】1+ln1=1【解析】fx=e^x+1/x，在0，1]上fx0，函数单调递增，最大值在x=1处取得，为e^1+ln1=

13.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则其公比q的值为______（4分）【答案】2【解析】由a_4=a_1q^3得16=2q^3，解得q=

24.已知圆C x^2+y^2-4x+6y-3=0，则其圆心坐标为______，半径为______（4分）【答案】2，-3；√10【解析】圆方程配方得x-2^2+y+3^2=10，圆心2，-3，半径√10

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若直线l y=kx+b与圆C x^2+y^2=r^2相交于两点，则k^2+r^21（）（2分）【答案】（×）【解析】直线与圆相交，圆心到直线的距离d必须小于r，即d^2=r^2-k^2+r^2，解得k^2+r^21不一定成立

2.若函数fx在区间I上是增函数，则其反函数f^-1x在对应区间上也是增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】增函数的反函数也是增函数，这是反函数的性质

3.在直角坐标系中，点Px，y到直线l Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax+By+C|/√A^2+B^2（）（2分）【答案】（√）【解析】这是点到直线距离的标准公式

4.若复数z=a+bia，b∈R满足|z|=1，则z的平方z^2一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=1即a^2+b^2=1，z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi，若b=0则z^2是实数，若b≠0则z^2虚部为0，也是实数

5.在△ABC中，若sinAsinBsinC0，则△ABC一定是锐角三角形（）（2分）【答案】（×）【解析】sinAsinBsinC0意味着三个正弦值同号，可能A、B、C都是锐角，也可能有两个钝角一个锐角，如A=120°，B=30°，C=30°

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的极值点（4分）【答案】极小值点x=0，极大值点x=2【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，检验得x=0处为极小值，x=2处为极大值

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，求cosB的值（4分）【答案】cosB=3/√7【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/223=3/√

73.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，求其通项公式a_n（4分）【答案】a_n=3n-5【解析】由a_n=a_1+n-1d，得a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，解得a_1=2，d=3，故a_n=3n-5

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，分析其单调性和极值（10分）【答案】

（1）单调性fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，当x∈1-√3/3，1+√3/3时fx0，函数单调递减；当x∈-∞，1-√3/3和1+√3/3，+∞时fx0，函数单调递增

（2）极值fx在x=1-√3/3处取得极大值，f1-√3/3=10√3/9-2；在x=1+√3/3处取得极小值，f1+√3/3=-10√3/9-

22.已知圆C x^2+y^2-2x+4y-4=0，求其圆心到直线l3x-y+1=0的距离（10分）【答案】

（1）圆心将圆方程配方得x-1^2+y+2^2=9，圆心1，-2

（2）距离d=|31--2+1|/√3^2+-1^2=6/√10=3√10/5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品，可变成本为50元，售价为80元若生产x件产品，求该工厂的总成本Cx、总收入Rx和利润Lx的表达式，并求生产多少件产品时工厂开始盈利？（25分）【答案】

（1）总成本Cx=10000+50x

（2）总收入Rx=80x

（3）利润Lx=Rx-Cx=80x-10000+50x=30x-10000

（4）盈利条件Lx0，解得x1000/3，即生产超过333件产品时开始盈利

2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名为了解学生的视力情况，需要抽取一个样本量为10的简单随机样本求抽到3名男生和7名女生的概率（25分）【答案】

（1）基本事件总数C50，10

（2）抽到3名男生和7名女生的事件数C30，3C20，7

（3）概率P=C30，3C20，7/C50，10=

0.3149---完整标准答案（附后）---。