六类对口数学压轴试题及答案解析

六类对口数学压轴试题及答案解析

一、单选题

1.已知函数fx=ax^3+bx^2+cx+d，若f-1=0，f1=4，则a+b+c+d的值为（）（2分）A.-1B.1C.3D.4【答案】B【解析】f-1=-a+b-c+d=0，f1=a+b+c+d=4，两式相加得2a+b+c+d=4，故a+b+c+d=2选项B正确

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.3/4C.5/6D.7/8【答案】B【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=2^2+4^2-3^2/224=7/8选项D正确

3.某校为了解学生对数学的兴趣，随机抽取了100名学生进行调查，其中有60名学生喜欢数学则样本的抽样比例为（）（2分）A.60%B.40%C.50%D.30%【答案】A【解析】抽样比例=喜欢数学的学生数/总人数=60/100=60%选项A正确

4.若复数z=1+i/1-i，则|z|的值为（）（2分）A.1B.2C.√2D.√3【答案】C【解析】|z|=|1+i/1-i|=|1+i|/|1-i|=√2/√2=1选项C正确

5.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），则a_5的值为（）（2分）A.1024B.512C.256D.128【答案】A【解析】a_2=S_1S_0=10=0，a_3=S_2S_1=1+01=1，a_4=S_3S_2=1+11=2，a_5=S_4S_3=1+2+12=62=12选项A正确

6.已知函数fx=log_ax+1，若f2=1，则a的值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】f2=log_a2+1=1，即log_a3=1，故a=3选项A正确

7.在直角坐标系中，点Px,y到直线l:ax+by+c=0的距离为d，则d的最大值为（）（2分）A.|c|/√a^2+b^2B.√a^2+b^2/|c|C.|c|√a^2+b^2D.√a^2+b^2【答案】D【解析】点P到直线l的距离公式为d=|ax+by+c|/√a^2+b^2，当点P在原点时，d取得最大值√a^2+b^2选项D正确

8.已知圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线l与圆O的位置关系为（）（2分）A.相离B.相切C.相交D.不确定【答案】D【解析】当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交选项D正确

9.已知函数fx=x^2-2x+3，则fx的最小值为（）（2分）A.2B.1C.3D.4【答案】A【解析】fx=x-1^2+2，当x=1时，fx取得最小值2选项A正确

10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_{n-1}（n≥2），则{a_n}是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.非等差数列非等比数列【答案】B【解析】a_n=S_n/S_{n-1}=a_n，故{a_n}是等比数列选项B正确

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.两个奇数的和是偶数C.对任意实数x，x^2≥0D.若ab，则a^2b^2E.若A∩B=A，则A⊆B【答案】A、B、C、E【解析】空集是任何集合的子集是真命题；两个奇数的和是偶数是真命题；对任意实数x，x^2≥0是真命题；若ab，则a^2b^2不一定成立；若A∩B=A，则A⊆B是真命题考查集合和实数的性质

2.以下哪些函数是偶函数？（）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=cosxD.fx=logx+1E.fx=|x|【答案】A、C、E【解析】fx=x^

2、fx=cosx、fx=|x|都是偶函数；fx=sinx是奇函数；fx=logx+1是非奇非偶函数考查函数的奇偶性

3.以下哪些数列是等差数列？（）A.a_n=2n+1B.a_n=3^nC.a_n=5-2nD.a_n=n^2E.a_n=1/n【答案】A、C【解析】a_n=2n+

1、a_n=5-2n是等差数列；a_n=3^n、a_n=n^

2、a_n=1/n不是等差数列考查等差数列的定义

4.以下哪些数列是等比数列？（）A.a_n=2^nB.a_n=3nC.a_n=-1^nD.a_n=1/2^nE.a_n=2n^2【答案】A、C、D【解析】a_n=2^n、a_n=-1^n、a_n=1/2^n是等比数列；a_n=3n、a_n=2n^2不是等比数列考查等比数列的定义

5.以下哪些命题是真命题？（）A.若ab，则a^3b^3B.若ab，则√a√bC.若a^2b^2，则abD.若ab，则1/a1/bE.若ab0，则a^2b^2【答案】A、D、E【解析】若ab，则a^3b^3是真命题；若ab，则√a√b不一定成立；若a^2b^2，则ab不一定成立；若ab，则1/a1/b是真命题；若ab0，则a^2b^2是真命题考查不等式的性质

三、填空题

1.若函数fx=x^2+px+q的图像过点1,0，且对称轴为x=-1，则p=______，q=______（4分）【答案】-2；-1【解析】由对称轴为x=-1得p=-2（-1）=-2；由过点1,0得1^2-21+q=0，解得q=1故p=-2，q=-

12.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_{n-1}（n≥2），则a_4=______（4分）【答案】27【解析】a_2=S_2/S_1=a_1+a_2/a_1=3；a_3=S_3/S_2=a_1+a_2+a_3/（a_1+a_2）=3；a_4=S_4/S_3=3故a_4=

273.若函数fx=log_ax+1在区间-1,+∞上单调递增，则a的取值范围为______（4分）【答案】a1【解析】对数函数fx=log_ax+1在区间-1,+∞上单调递增，当且仅当a

14.若复数z=1+i，则z^3=______（4分）【答案】-2i【解析】z^3=1+i^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2i

5.若圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，且d=r，则直线l与圆O的位置关系为______（4分）【答案】相切【解析】当d=r时，直线与圆相切

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab，但a^2=1，b^2=4，a^2b^

22.若函数fx是奇函数，且在区间-∞,0上单调递增，则fx在区间0,+∞上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数关于原点对称，故fx在区间0,+∞上单调递减

3.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=n，则{a_n}是等差数列，但{a_n^2}不是等差数列

4.若复数z=1+i/1-i，则|z|=1（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=|1+i/1-i|=|1+i|/|1-i|=√2/√2=

15.若A⊆B，则A∩B=A（）（2分）【答案】（√）【解析】由集合的性质知，若A⊆B，则A∩B=A

五、简答题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值（5分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时，fx0；当0x2时，fx0；当x2时，fx0故x=0时，fx取得极大值1；x=2时，fx取得极小值-

22.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_{n-1}（n≥2），求证{a_n}是等比数列（5分）【答案】由a_n=S_n/S_{n-1}得a_n=a_1+a_2+...+a_n/a_1+a_2+...+a_{n-1}故a_n=a_1+a_n/a_{n-1}，即a_n/a_{n-1}=a_1故{a_n}是等比数列，公比为a_

13.已知圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，且dr，求圆O与直线l相交的弦长（5分）【答案】设圆O与直线l相交的弦长为2l，由勾股定理得l=√r^2-d^2故弦长为2√r^2-d^2

六、分析题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2当x0时，fx0；当0x2时，fx0；当x2时，fx0故fx在区间-∞,0上单调递增；在区间0,2上单调递减；在区间2,+∞上单调递增

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_{n-1}（n≥2），求证{a_n}是等比数列（10分）【答案】由a_n=S_n/S_{n-1}得a_n=a_1+a_2+...+a_n/a_1+a_2+...+a_{n-1}故a_n=a_1+a_n/a_{n-1}，即a_n/a_{n-1}=a_1故{a_n}是等比数列，公比为a_1

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并画出函数的图像（25分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时，fx0；当0x2时，fx0；当x2时，fx0故x=0时，fx取得极大值1；x=2时，fx取得极小值-2函数图像如下```y|||||||||||--------------------------22x```

八、完整标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.A

4.C

5.A

6.A

7.D

8.D

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、E

2.A、C、E

3.A、C

4.A、C、D

5.A、D、E

三、填空题

1.-2；-

12.

273.a

14.-2i

5.相切

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.答案见简答题部分

2.答案见简答题部分

3.答案见简答题部分

六、分析题

1.答案见分析题部分

2.答案见分析题部分

七、综合应用题

1.答案见综合应用题部分。