剖析数理班面试：核心题目与答案解析

剖析数理班面试核心题目与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=ax^2+bx+c，若f1=3，f-1=1，f0=0，则b的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】根据题意，代入x=1，-1，0得方程组a+b+c=3a-b+c=1c=0解得a=1，b=-2，c=0，故b=-

22.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.{-1}【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1，2}B为所有形如2k+1的整数集合，∴A∩B={1}

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长度为（）（2分）A.2√2B.3√3C.4√2D.3√2【答案】D【解析】由正弦定理得AC/sinB=BC/sinA即AC/√3/2=6/√2/2解得AC=3√

24.已知直线l1:y=2x+1，直线l2:ax-y+3=0，若l1⊥l2，则a的值为（）（2分）A.1/2B.2C.-1/2D.-2【答案】D【解析】两直线垂直时，斜率乘积为-1l1斜率为2，∴a-1/2=-1，解得a=-

25.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.0【答案】C【解析】函数图像是两折线段，在x=-2和x=1处折点，分别计算得f-2=3，f1=2，故最小值为

26.若复数z=1+i，则z^4的虚部为（）（2分）A.0B.2C.-2D.4【答案】B【解析】z^4=1+i^4=4i，虚部为

47.样本数据5，x，7，9的众数为7，中位数为8，则x的值为（）（2分）A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】众数为7说明至少有两个7，中位数为8，排序后为5，x，7，9，∴x=

68.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5:s=s+i;i=i+2;（）（2分）A.3B.8C.15D.30【答案】B【解析】循环三次i=1时s=1；i=3时s=4；i=5时s=

89.若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=18，则公差d为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由S3=3a1+a2=9，S6=6a1+a6=18，相减得3d=3，∴d=

110.若圆x-a^2+y-b^2=r^2与x轴相切，则（）（2分）A.a=rB.b=rC.a^2+b^2=r^2D.|b|=r【答案】D【解析】圆心到x轴距离等于半径，即|b|=r

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若x≠0，则x^20D.等腰三角形的底角相等【答案】A、C、D【解析】B不成立如a=2，b=-3A对，空集是任何集合的真子集C对，平方非负D对，等腰三角形性质

2.关于函数fx=x^3-ax+1，以下说法正确的有（）（4分）A.存在实数a使得fx在-∞，+∞上单调递增B.存在实数a使得fx有三个不同零点C.fx的图像必过点1，1D.若a=1，则fx的极大值小于极小值【答案】A、B、C【解析】C对，f1=1-a+1=1A对，若a≤0，则fx=3x^2-a≥0B对，若判别式Δ0且f0f10D错，a=1时极大值大于极小值

3.以下不等式成立的有（）（4分）A.|x-1|+|x+1|2B.1/2^x1C.√

31.7D.log28log25【答案】A、D【解析】B不成立如x=1C错，√3≈

1.

731.7A对，最小值为2D对，log28=3log

254.若向量a=1，k，b=2，-1，则以下结论正确的有（）（4分）A.存在实数k使得a∥bB.存在实数k使得a⊥bC.|a+b|=3D.|a||b|【答案】B、C【解析】B对，12+k-1=0得k=2C对，a+b=3，k-1，若k=2则|a+b|=3A错，1/k=2≠1D错，|a|=√1+k^2，|b|=√5，当k=0时|a|=1√

55.关于抛物线y^2=2pxp0，以下说法正确的有（）（4分）A.焦点在x轴正半轴B.准线方程为x=-pC.顶点在原点D.开口方向向右【答案】A、C、D【解析】抛物线标准方程性质，A、C、D对B错，准线为x=-p/2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2-2x+4y-3=0相切，则k的值为______（4分）【答案】-1或-7【解析】圆心1，-2，半径√1^2+-2^2+3=2√3，切线到圆心距离等于半径|k1+1-2+1|/√k^2+1=2√3解得k=-1或-

72.已知函数fx=sinωx+φ，若fπ/4=1，fπ/2=-1，则ω=______，φ=______（4分）【答案】4，π/4【解析】fπ/4=sinωπ/4+φ=1，fπ/2=sinωπ/2+φ=-1，相减得ωπ/4=3π/2，ω=6代入得sin3π/2+φ=-1，φ=π/

43.在△ABC中，若a=3，b=5，C=60°，则△ABC的面积为______（4分）【答案】

7.5【解析】面积=1/235sin60°=

7.5√3/2，约

7.

54.若数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则通项公式an=______（4分）【答案】2^n-1【解析】变形为an+1+1=2an+1，是等比数列，公比2，首项2，故an+1=2^n，an=2^n-

15.若复数z=2+3i，则|z|^2016=______（4分）【答案】2^2016【解析】|z|^2016=√2^2+3^2^2016=13^2016，但题目要求|z|^2016即√13^2016=2^2016

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不一定连续，如分段函数

2.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则三角形ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】满足勾股定理3^2+4^2=5^

23.若向量a=1，2，b=3，4，则向量a与b共线（）（2分）【答案】（√）【解析】1/3=2/4，存在比例关系

4.若集合A={x|0x1}，B={x|x2}，则A∪B={x|x0}（）（2分）【答案】（×）【解析】A∪B={x|x0且x≠1}

5.若等比数列{an}的公比为q，则数列{an^2}也是等比数列（）（2分）【答案】（√）【解析】{an^2}的相邻项比是q^2，为常数

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1，3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值5，最小值1【解析】对称轴x=1，f-1=6，f1=2，f3=6，故最大值6，最小值

22.已知圆C x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆心坐标和半径（4分）【答案】圆心2，-3，半径√13【解析】配方得x-2^2+y+3^2=22，∴圆心2，-3，半径√

223.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=25，S10=70，求公差d和首项a1（4分）【答案】d=3，a1=2【解析】S5=5a1+a5/2=25，S10=10a1+a10/2=70，相减得5d=45，d=3代入S5得a1=2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x^2-4x+3|，求fx的最小值，并画出函数图像的大致形状（10分）【答案】最小值0【解析】|x^2-4x+3|=|x-1x-3|，图像是两个V形，分别在x=1和x=3折点，最小值为

02.已知数列{an}满足an+1=3an+2，且a1=1，求通项公式an，并证明数列{an+1}是等比数列（10分）【答案】an=3^n-1【解析】变形为an+1+1=3an+1，是首项2，公比3的等比数列，∴an+1=3^n，an=3^n-1证明相邻项比3^n+1-1/3^n-1=3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为30元若生产x件产品，求

（1）利润函数Px；

（2）生产多少件产品时利润最大？

（3）要实现盈利，至少要生产多少件产品？（25分）【答案】

（1）Px=10x-20x=10x-20x=-10x+30x-10=20x-10（万元）

（2）Px=-10x+30x-10=-10x+30x-10=-10x+30x-10=-10x+30x-10

（3）要实现盈利，Px0，解得x

52.某学校组织数学竞赛，参赛选手成绩服从正态分布Nμ，σ^2，已知前10名选手的平均成绩为85分，标准差为5分，后10名选手的平均成绩为75分，标准差为4分求

（1）全体选手的平均成绩μ；

（2）全体选手成绩的标准差σ（25分）【答案】

（1）μ=1085+1075/20=80

（2）σ=√[105^2+104^2/20]=

4.7。