历年高考试题数学原卷及答案

历年高考试题数学原卷及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}【答案】D【解析】A={1,2}，当B=∅时，Δ=m^2-8＜0，m∈-2√2,2√2；当B≠∅时，B=A，m=1或2，综上m∈-2√2,2√2∪{1,2}

2.函数fx=√x^2+2x+3的最小值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】C【解析】fx=√x+1^2+2≥√2，当x=-1时取等号，最小值为

23.若复数z满足|z|=1，则z^2的辐角主值可能是（）（2分）A.π/4B.π/2C.3π/4D.π【答案】B【解析】设z=a+bia,b∈R，则a^2+b^2=1，z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi，若argz^2=π/2，则a^2-b^2=0且2ab0，解得a=b0，辐角主值为π/

24.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_4+a_7=39，则a_4+a_5+a_6的值为（）（2分）A.45B.48C.51D.54【答案】B【解析】由等差数列性质，a_4=a_1+3d，a_7=a_1+6d，则3a_1+9d=39，即a_1+3d=13，即a_4=13，a_5=a_4+d，a_6=a_4+2d，故a_4+a_5+a_6=3a_4+3d=

485.已知函数fx=sinωx+φ，若fπ/6=1且fπ/3=-1/2，则ω和φ满足（）（2分）A.ω=1，φ=π/3B.ω=1，φ=π/6C.ω=2，φ=π/3D.ω=2，φ=π/6【答案】D【解析】由fπ/6=sinωπ/6+φ=1，得ωπ/6+φ=π/2+2kπ，由fπ/3=sinωπ/3+φ=-1/2，得ωπ/3+φ=7π/6+2kπ，两式相减得ωπ/6=2π/3+2kπ，ω=4+12k，取k=0得ω=4，φ=π/

66.一个三棱锥的三组对棱分别相等，则该三棱锥一定是（）（2分）A.正三棱锥B.直三棱锥C.正四面体D.等腰三棱锥【答案】C【解析】设三棱锥ABCD的三组对棱分别为AB和CD，AC和BD，BC和AD，由已知AB=CD，AC=BD，BC=AD，则AB=AC=BC，故△ABC为正三角形，同理可得△ABD，△ACD，△BCD均为正三角形，故该三棱锥为正四面体

7.已知直线l x=1与圆C x^2+y^2-2x+4y-3=0的位置关系是（）（2分）A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交不过圆心【答案】D【解析】圆C x-1^2+y+2^2=8，圆心1,-2，半径2√2，圆心到直线l的距离d=|-2-1|=32√2，故直线l与圆C相交不过圆心

8.已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx=lnx+1，则当x0时，fx的表达式为（）（2分）A.ln-x-1B.-lnx+1C.lnx-1D.-lnx-1【答案】B【解析】由f-x=-fx，得fx=-f-x，当x0时，-x0，fx=-ln-x+1=-lnx+

19.执行如图所示的程序框图，若输入的n为正整数，则输出的S的值可能是（）（2分）（图略，流程输入n→S=0→循环n次S=S+i→输出S）A.1B.3C.6D.10【答案】B【解析】程序执行过程为S=0+1=1，S=1+2=3，S=3+3=6，S=6+4=10，当n=1时，S=1；当n=2时，S=3；当n=3时，S=6；当n=4时，S=10，故输出的S的值可能是

310.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则方程fx=0在区间[-2,2]上的实数根的个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或2，f-2=-14，f0=2，f2=0，f1=-2，故方程fx=0在[-2,0，0,2]上各有一个实数根，在x=2处有根，共3个实数根

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.底面是平行四边形的棱柱是直棱柱B.过球面上任意两点有无数条大圆C.若ab，则fx=ax^2+bx+c在R上单调递增D.若fx是奇函数，则f0=0E.等比数列的前n项和S_n与公比q无关【答案】B、D【解析】A错底面是平行四边形的棱柱侧棱不一定垂直底面；B对球面上两点若不在同一直径两端，则有无数条大圆过这两点；C错fx在R上单调递增需Δ≤0且a0；D对f0=f-0=-f0，f0=0；E错S_n=a_11-q^n/1-q，与q有关

2.已知函数fx=x^2+px+q，若fx=0的两根分别比方程gx=x^2+qx+p=0的两根大1，则p、q满足（）（4分）A.p+q=1B.p+q=-1C.pq=-1D.pq=1【答案】A、C【解析】设fx=0的两根为α、β，gx=0的两根为γ、δ，则α=γ+1，β=δ+1，由韦达定理，α+β=-p，αβ=q，γ+δ=-q，γδ=p，代入得γδ=γ+1δ+1=γδ+γ+δ+1，p=q+-q+1，p=q+1，即p-q=1，又αβ=γ+1δ+1=γδ+γ+δ+1=p+-q+1，q=p-1，pp-1=p-1，pp-1-p-1=0，p-1p-2=0，p=1或p=2，当p=1时，q=0，不满足p-q=1；当p=2时，q=1，满足p-q=1，故p=2，q=1，p+q=3，p+q=-1不成立，pq=-1不成立，pq=1成立，故p+q=1，pq=-

13.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列条件中能确定△ABC的形状的有（）（4分）A.a^2=b^2+c^2B.b^2=c^2-a^2C.2bccosA=b^2+c^2D.asinA=bsinBE.acosA=bcosB【答案】A、C、D、E【解析】A对由勾股定理，△ABC为直角三角形；B错条件与A矛盾；C对由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc，代入得2bcb^2+c^2-a^2/2bc=b^2+c^2，即a^2=b^2+c^2，矛盾，故条件不成立；D对由正弦定理，asinA/bsinB=a/b，即sinA/sinB=1，故A=B，△ABC为等腰三角形；E对由正弦定理，asinA/bcosB=a/b，即sinAcosB=cosAsinB，故sinA-B=0，A=B，△ABC为等腰三角形

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则下列说法正确的有（）（4分）A.{a_n}是等比数列B.S_n=n^2C.a_n=2^n-1D.a_n=n2^n-1E.S_n=nn+1/2【答案】B、C【解析】由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2a_n+1，故数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，a_n=2^n-1，故C对；S_n=1+3+7+...+2^n-1=2^1-1+2^2-1+...+2^n-1=22^1+2^2+...+2^n-1-n=22^n-2-n=2^n+1-4-n，故B错，E错；由a_n=2^n-1，得{a_n}不是等比数列，故A错；a_n=n2^n-1不成立，故D错

5.已知函数fx=|x-1|+|x+a|，若fx在-∞,1上单调递减，则实数a的取值范围是（）（4分）A.a=0B.a0C.a=1D.a0E.a=-1【答案】A、E【解析】fx=|x-1|+|x+a|，当x∈-∞,min1,a时，fx=-x-1-x+a=-2x-a-1；当x∈min1,a,max1,a时，fx=-x-1+x+a=a+1；当x∈max1,a,+∞时，fx=x-1+x+a=2x+a-1，若fx在-∞,1上单调递减，则-2x-a-1在-∞,1上单调递减，即-20恒成立，故a-1≤0，a≤1；又fx在-∞,1上单调递减，故1≤a，即a=1；或min1,a=1，即a≥1；综上a=1或a≤0，故a=0或a=-1

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知圆C x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆心C到直线l x-y+5=0的距离d=________（4分）【答案】√10【解析】圆C x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-3，半径4，d=|2--3+5|/√1^2+-1^2=10/√2=√

102.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，则cosB=________（4分）【答案】3/4【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=2^2+3^2-√7^2/223=3/

43.已知函数fx=cos^2x-sin^2x，则fπ/12=________（4分）【答案】√3/2【解析】fx=cos2x，fπ/12=cosπ/6=√3/

24.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则前n项和S_n=________（4分）【答案】nn+1【解析】S_n=n1+n-12/2=nn+

15.已知复数z=1+i，则z^2的实部为________（4分）【答案】0【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i，实部为

06.已知函数fx=e^x，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为________（4分）【答案】y=ex+e【解析】fx=e^x，f1=e，f1=e，切线方程y-e=ex-1，即y=ex

7.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a:b:c=3:4:5，则cosA=________（4分）【答案】12/25【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16k^2+25k^2-9k^2/24k5k=12/

258.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则方程fx=0在区间[-2,2]上的实数根的个数为________（4分）【答案】3【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或2，f-2=-14，f0=2，f2=0，f1=-2，故方程fx=0在[-2,0，0,2]上各有一个实数根，在x=2处有根，共3个实数根

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx是奇函数，则fx^2也是奇函数（）【答案】（√）【解析】f-x^2=-fx^2，故fx^2是奇函数

2.若ab，则fx=ax^2+bx+c在R上单调递增（）【答案】（×）【解析】fx在R上单调递增需Δ≤0且a

03.若复数z满足|z|=1，则z^2的辐角主值一定是π/2（）【答案】（×）【解析】如z=1，z^2=1，辐角主值为

04.若fx是定义在R上的偶函数，则fx=0必有实数根x=0（）【答案】（√）【解析】f0=f-0，f0=-f0，f0=

05.若数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/S_n-1，则{a_n}是等比数列（）【答案】（×）【解析】如a_1=1，a_n=S_n/S_n-1，则a_n=a_n-1，故a_n=1，{a_n}是常数列，不是等比数列

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2+px+q，若fx=0的两根分别比方程gx=x^2+qx+p=0的两根大1，求p、q的值【解析】设fx=0的两根为α、β，gx=0的两根为γ、δ，则α=γ+1，β=δ+1，由韦达定理，α+β=-p，αβ=q，γ+δ=-q，γδ=p，代入得γδ=γ+1δ+1=γδ+γ+δ+1，p=q+-q+1，p=q+1，又αβ=γ+1δ+1=γδ+γ+δ+1=p+-q+1，q=p-1，pp-1=p-1，pp-1-p-1=0，p-1p-2=0，p=1或p=2，当p=1时，q=0，不满足p-q=1；当p=2时，q=1，满足p-q=1，故p=2，q=

12.已知圆C x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆C的半径和圆心坐标【解析】圆C x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-3，半径r=√16=

43.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求通项公式a_n【解析】由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2a_n+1，故数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，a_n=2^n-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数fx的极值点【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或2，fx=6x-6，f0=-60，故x=0为极大值点；f2=60，故x=2为极小值点

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求前n项和S_n【解析】由a_n+1=2a_n+1，得a_n=2^n-1，S_n=1+3+7+...+2^n-1=22^1+2^2+...+2^n-1-n=22^n-2-n=2^n+1-4-n

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√7，c=3，求cosB及△ABC的面积【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=2^2+3^2-√7^2/223=3/4，sinB=√1-cos^2B=√1-3/4^2=√7/4，S_△ABC=1/2absinC=1/22√7√7/4=7/

42.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0，得x=0或2，f-2=-14，f0=2，f2=0，f1=-2，故fx在[-2,0上单调递增，在0,2]上单调递减，最大值为f0=2，最小值为f-2=-14

八、完整标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.D

8.B

9.B

10.C

二、多选题

1.B、D

2.A、C

3.A、C、D、E

4.B、C

5.A、E

三、填空题

1.√

102.3/

43.√3/

24.nn+

15.

06.y=ex+e

7.12/

258.3

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.√

5.×

五、简答题

1.p=2，q=

12.圆心2,-3，半径

43.a_n=2^n-1

六、分析题

1.x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.S_n=2^n+1-4-n

七、综合应用题

1.cosB=3/4，S_△ABC=7/

42.最大值2，最小值-14。