吉林大学高等数学模拟试题及答案

吉林大学高等数学模拟试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=2x+1D.y=x^3【答案】A【解析】y=|x|在x=0处不可导，因为其导数在x=0处左右极限不相等

2.若函数fx在[a,b]上连续，则在[a,b]上（）A.必有最大值和最小值B.未必有最大值和最小值C.必有最大值，未必有最小值D.必有最小值，未必有最大值【答案】A【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

3.下列极限正确的是（）Alimx→0sinx/x=1B.limx→0cosx/x=1C.limx→∞x+1/x=0D.limx→∞x^2/x+1^2=2【答案】A【解析】A选项为基本极限，limx→0sinx/x=1；B选项错误，正确极限为0；C选项错误，正确极限为1；D选项错误，正确极限为

14.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处（）A.必连续B.未必连续C.必可微D.必可积【答案】A【解析】函数在某点可导必在该点连续

5.函数y=3lnx-x在x=1处的切线斜率为（）A.3B.1C.-1D.-2【答案】C【解析】y=3/x-1，在x=1处，y=-

26.下列级数收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n+1【答案】B【解析】B选项为p-级数，p=21，收敛；A选项发散；C选项收敛；D选项条件收敛

7.若y=lnx^2+1，则dy=dxA.2x/x^2+1B.1/x^2+1C.2xD.x/x^2+1【答案】A【解析】dy=dlnx^2+1=2x/x^2+1dx

8.下列积分计算正确的是（）A.∫1to2x^2dx=7/3B.∫0to1e^xdx=eC.∫1to21/xdx=ln2D.∫0toπsinxdx=1【答案】C【解析】C选项∫1to21/xdx=ln|x|1to2=ln

29.若函数fx满足fx=0，则fx必是（）A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数【答案】A【解析】fx=0积分两次得到fx=ax+b，为一次函数

10.若向量a=1,2,3，b=2,3,1，则向量a与b的夹角cosθ=）A.1/2B.3/√14C.√14/14D.5/√14【答案】B【解析】cosθ=a·b/|a||b|=12+23+31/√14√14=3/√14

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.y=x^3B.y=|x|C.y=2xD.y=cosx【答案】A、C、D【解析】B选项y=|x|在x=0处不可导，A、C、D选项在x=0处可导

2.下列不等式成立的有（）A.0sinxxx0B.e^x1+xx0C.cosx1-x^2/2x0D.lnxx-1x0【答案】A、B、D【解析】A、B、D选项不等式成立，C选项错误

3.下列级数条件收敛的有（）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞1/n^pp1D.∑n=1to∞-1^n/n+1^pp0【答案】A、D【解析】A选项条件收敛，B、C选项绝对收敛，D选项条件收敛

4.下列函数在定义域内单调递增的有（）A.y=x^2B.y=e^xC.y=lnxD.y=1/x【答案】B、C【解析】B、C选项在定义域内单调递增，A选项在x0时单调递增，D选项单调递减

5.下列命题正确的有（）A.若fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必连续B.若fx在x=x0处取得极值，且fx在x=x0处可导，则fx0=0C.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界D.若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界【答案】A、B、C、D【解析】A、B、C、D选项均为数学分析中的正确命题

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若limx→2x^2-4/x-2=k，则k=______【答案】4【解析】分子分母同除以x-2，得limx→2x+2=

42.函数y=√x^2+1的导数dy/dx=______【答案】x/√x^2+1【解析】使用链式法则，dy/dx=1/2√x^2+1·2x=x/√x^2+

13.若fx=x^3-3x+1，则fx=______，fx=______【答案】3x^2-3，6x【解析】fx=3x^2-3，fx=6x

4.若函数y=2^x，则y=______^xln2【答案】2【解析】y=2^xln

25.若向量a=1,1,1，b=1,0,-1，则向量a·b=______，|a|=______，|b|=______【答案】1，√3，√2【解析】a·b=11+10+1-1=1，|a|=√1^2+1^2+1^2=√3，|b|=√1^2+0^2+-1^2=√

26.若函数fx在[a,b]上连续，则∫atobfxdx的几何意义是______【答案】由y=fx，x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积【解析】定积分的几何意义为曲边梯形的面积

7.级数∑n=1to∞1/2^n的求和S=______【答案】2/3【解析】该级数为等比级数，公比r=1/2，S=a/1-r=1/1-1/2=

28.若函数y=lnx+√x^2+1，则dy/dx=______【答案】1/x+√x^2+1·1+2x/2√x^2+1=1/√x^2+1【解析】使用链式法则和商法则，dy/dx=1/x+√x^2+1·1+2x/2√x^2+1=1/√x^2+1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在x=x0处取得极值，且fx在x=x0处可导，则fx0=0（）【答案】（√）【解析】根据费马定理，可导函数在极值点处导数为

02.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】收敛级数不一定绝对收敛，如∑-1^n/n收敛，但不绝对收敛

3.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

4.若向量a与向量b共线，则存在实数k使得a=kb（）【答案】（√）【解析】向量共线的定义即为存在实数k使得a=kb

5.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必连续（）【答案】（√）【解析】函数在某点可导必在该点连续

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述导数的几何意义【答案】导数表示函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点处变化的瞬时速率【解析】导数的几何意义是函数图像在某一点的切线斜率，反映了函数在该点处的变化率

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分表示由函数图像、积分区间及x轴所围成的图形的面积【解析】定积分的几何意义是曲边梯形的面积，即函数图像在指定区间上与x轴所围成的区域的面积

3.简述级数收敛的必要条件【答案】若级数∑a_n收敛，则其通项a_n必须趋于0【解析】级数收敛的必要条件是通项趋于0，即limn→∞a_n=0，若不满足则级数必发散

4.简述向量垂直的充要条件【答案】向量a与向量b垂直的充要条件是它们的点积a·b=0【解析】向量垂直的充要条件是它们的点积为0，即a·b=|a||b|cosθ=0，从而cosθ=0，θ=π/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2在[0,2]上，fx0，函数单调递减；在[2,3]上，fx0，函数单调递增f0=2，f2=-2，f3=0，故在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值-

22.分析级数∑n=1to∞-1^n/n+1的收敛性【答案】该级数为交错级数，满足莱布尼茨判别法的条件

（1）通项a_n=1/n+1单调递减；

（2）limn→∞a_n=0故级数条件收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其在[0,3]上的最大值和最小值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2f0=2，f2=-2，f3=0，故最大值为2，最小值为-

22.已知向量a=1,2,3，b=2,3,1，求向量a与b的夹角θ【答案】cosθ=a·b/|a||b|=12+23+31/√14√14=3/√14，θ=arccos3/√14≈

74.05°---标准答案及解析

一、单选题

1.A

2.A

3.A

4.A

5.C

6.B

7.A

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、D

3.A、D

4.B、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

42.x/√x^2+

13.3x^2-3，6x

4.

25.1，√3，√

26.由y=fx，x=a，x=b及x轴所围成的图形的面积

7.2/

38.1/√x^2+1

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.导数表示函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点处变化的瞬时速率

2.定积分表示由函数图像、积分区间及x轴所围成的图形的面积

3.若级数∑a_n收敛，则其通项a_n必须趋于

04.向量a与向量b垂直的充要条件是它们的点积a·b=0

六、分析题

1.在[0,2]上，函数单调递减；在[2,3]上，函数单调递增在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值-

22.该级数为交错级数，满足莱布尼茨判别法的条件，故级数条件收敛

七、综合应用题

1.最大值为2，最小值为-

22.θ=arccos3/√14≈

74.05°。