向量课后测试题及答案

向量课后测试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.向量a=3,4，向量b=1,2，则向量a+b等于（）（2分）A.4,6B.2,6C.3,6D.6,4【答案】A【解析】向量加法按分量分别相加，a+b=3+1,4+2=4,

62.向量a=2,-1，向量b=-3,4，则向量a·b等于（）（2分）A.-10B.10C.-14D.14【答案】A【解析】向量数量积（点积）计算为a·b=2×-3+-1×4=-6-4=-

103.向量a=1,2，向量b=3,0，则向量a与向量b的夹角是（）（2分）A.0°B.90°C.45°D.135°【答案】B【解析】向量b是水平向量，向量a与b垂直，夹角为90°

4.已知向量a=3,4，向量b与向量a平行且方向相反，则向量b等于（）（2分）A.-3,-4B.3,-4C.-4,-3D.-4,3【答案】A【解析】平行且方向相反的向量，其分量均取相反数，故b=-3,-

45.向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a×b的模等于（）（2分）A.10B.14C.5√2D.7√2【答案】C【解析】二维向量叉积的模为|a×b|=|1×4-2×3|=|-2|=2，故模为√1²+2²=√

56.向量OP=2,3，点P的坐标是（）（2分）A.2,3B.-2,3C.2,-3D.-2,-3【答案】A【解析】向量OP表示从原点到点P的有向线段，故P坐标为2,

37.向量a=3,4，向量b=0,1，则向量a的单位向量是（）（2分）A.3/5,4/5B.3/25,4/25C.0,3/5D.0,4/5【答案】A【解析】向量a的单位向量是a/|a|=3/5,4/5，其中|a|=√3²+4²=

58.向量OP1=1,2，向量OP2=3,4，则P1P2等于（）（2分）A.2,2B.4,6C.2,6D.4,2【答案】A【解析】P1P2=OP2-OP1=3-1,4-2=2,

29.向量a=1,0，向量b=0,1，则向量a+b的模等于（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】向量a+b=1,1，其模为√1²+1²=√

210.向量a=3,4，向量b=1,2，则向量2a-3b等于（）（2分）A.3,8B.6,8C.3,-4D.-3,-4【答案】D【解析】2a=6,8，3b=3,6，2a-3b=6-3,8-6=3,2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于向量的说法正确的有（）（4分）A.零向量的模为0B.平行向量的方向必相同C.非零向量a与b垂直则a·b=0D.向量a与向量b平行则存在实数k使a=kb【答案】A、C、D【解析】B错误，平行向量方向可以相同也可以相反

2.已知向量a=1,2，向量b=3,4，则下列说法正确的有（）（4分）A.|a|=√5B.a+b=4,6C.a·b=11D.a与b的夹角是90°【答案】A、B、C【解析】D错误，a·b=11≠0，故不垂直

3.下列向量中，与向量a=2,3垂直的有（）（4分）A.3,2B.-3,2C.2,-3D.-2,-3【答案】A、C【解析】垂直条件是a·b=2×3+3×2=0，只有A和C满足

4.关于向量的数量积，下列说法正确的有（）（4分）A.a·b=b·aB.|a|²=a·aC.a·b+c=a·b+a·cD.a·0=0【答案】A、B、C、D【解析】均为数量积的基本性质

5.下列向量中，与向量OP=3,4同向的单位向量有（）（4分）A.3/5,4/5B.3/25,4/25C.-3/5,-4/5D.4/5,3/5【答案】A【解析】只有模为1且方向相同的才是单位向量，故只有A正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.向量a=3,4，向量b=0,2，则向量a-2b等于________（4分）【答案】3,-4【解析】a-2b=3,4-20,2=3,4-0,4=3,

02.向量OP1=1,2，向量OP2=3,4，则向量OP1+OP2的坐标是________（4分）【答案】4,6【解析】OP1+OP2=1+3,2+4=4,

63.向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a在向量b上的投影长度是________（4分）【答案】2√5/5【解析】投影长度|a·b/|b|=|11/5|=11/√3²+4²=11/5√5=2√5/

54.向量a=3,4，向量b=1,2，则向量a×b的模是________（4分）【答案】2【解析】二维向量叉积模为|a×b|=|3×2-4×1|=|-2|=

25.向量OP=2,3，点P的坐标是________（4分）【答案】2,3【解析】向量表示从原点到点P的有向线段

6.向量a=3,4，向量b与向量a垂直，且|b|=1，则向量b等于________或________（4分）【答案】-4/5,3/5或4/5,-3/5【解析】垂直条件是a·b=3x+4y=0，且|b|=1，解得b=±4/5,∓3/

57.向量OP1=1,2，向量OP2=3,4，则P1P2的模是________（4分）【答案】√10【解析】P1P2=OP2-OP1=2,2，模为√2²+2²=√8=2√

28.向量a=1,0，向量b=0,1，则向量a+b的单位向量是________（4分）【答案】1/√2,1/√2【解析】a+b=1,1，单位向量是1/√2,1/√2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个非零向量a与b，若a·b=0，则a与b一定垂直（）（2分）【答案】（√）【解析】数量积定义a·b=|a||b|cosθ，cosθ=0即θ=90°

2.向量OP=2,3，向量PQ=-1,2，则向量OP+PQ的坐标是1,5（）（2分）【答案】（√）【解析】OP+PQ=2-1,3+2=1,

53.向量a=3,4，向量b=1,2，则向量a与向量b平行（）（2分）【答案】（√）【解析】向量b是向量a的1/3,1/2倍，故平行

4.向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a×b的模等于向量a与向量b的模的乘积（）（2分）【答案】（×）【解析】二维向量叉积模为|a×b|=|a||b|sinθ≠|a||b|

5.零向量的方向是任意的（）（2分）【答案】（√）【解析】零向量没有确定的方向，可以视为任何方向

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述向量与数量的区别（4分）【答案】向量既有大小又有方向，而数量只有大小没有方向；向量运算包括加减乘除，但向量乘法有数量积和向量积两种，数量只有加法、减法、乘法和除法

2.向量a=3,4，向量b=1,2，求向量a在向量b上的投影长度（4分）【答案】向量a在向量b上的投影长度为|a·b/|b||=3×1+4×2/√1²+2²=11/√5=11√5/

53.已知点A1,2，点B3,4，求向量AB的坐标及模（4分）【答案】向量AB=3-1,4-2=2,2，模为√2²+2²=2√

24.简述向量平行的条件（4分）【答案】向量a与向量b平行的条件是存在实数k，使a=kb；在二维中，即对应分量成比例

5.简述向量垂直的条件（4分）【答案】向量a与向量b垂直的条件是a·b=0；在二维中，即3x+4y=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知向量a=3,4，向量b=1,2，求向量c，使得2c-a+b=0（10分）【答案】2c=a-b=3,4-1,2=2,2，故c=1,

12.已知点A1,2，点B3,4，点C5,6，判断A、B、C三点是否共线（10分）【答案】向量AB=3-1,4-2=2,2，向量AC=5-1,6-2=4,4，AB与AC平行且方向相同，故三点共线

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知向量a=3,4，向量b=1,2，求向量c，使得c与a垂直且c与b垂直（25分）【答案】设c=x,y，由垂直条件得a·c=3x+4y=0b·c=x+2y=0解得x=0，y=0，故c=0,

02.已知点A1,2，点B3,4，点C5,6，求向量AB、BC、AC的坐标及模，并判断A、B、C三点是否共线（25分）【答案】向量AB=3-1,4-2=2,2，|AB|=2√2；向量BC=5-3,6-4=2,2，|BC|=2√2；向量AC=5-1,6-2=4,4，|AC|=4√2由于AB与AC平行且方向相同，故三点共线---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.A

5.C

6.A

7.A

8.A

9.B

10.D

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、C

3.A、C

4.A、B、C、D

5.A

三、填空题

1.3,-

42.4,

63.2√5/

54.

25.2,

36.-4/5,3/5或4/5,-3/

57.√

108.1/√2,1/√2

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.向量既有大小又有方向，数量只有大小；向量运算包括加减乘除，向量乘法有数量积和向量积，数量只有加法、减法、乘法和除法

2.投影长度为11√5/

53.向量AB=2,2，模为2√

24.向量a与向量b平行的条件是存在实数k，使a=kb

5.向量a与向量b垂直的条件是a·b=0

六、分析题

1.c=1,

12.A、B、C三点共线

七、综合应用题

1.c=0,

02.向量AB=2,2，|AB|=2√2；向量BC=2,2，|BC|=2√2；向量AC=4,4，|AC|=4√2三点共线。