四川工程数学测验题目与答案

四川工程数学测验题目与答案

一、单选题

1.函数fx=x^2-4x+3的定义域是（）（1分）A.-∞,2∪2,+∞B.-∞,3∪3,+∞C.RD.2,3【答案】C【解析】fx=x^2-4x+3是一个二次函数，其定义域为实数集R

2.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）（1分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=x^3【答案】D【解析】y=x^3在区间0,+∞上单调递增

3.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）（1分）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】limx→2x^2-4/x-2=limx→2x+2=

44.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（1分）A.y=x^2B.y=|x|C.y=2x+1D.y=x^3【答案】B【解析】y=|x|在x=0处不可导

5.积分∫0to1x^2dx的值是（）（1分）A.1/3B.1/4C.1/2D.1【答案】A【解析】∫0to1x^2dx=[x^3/3]from0to1=1/3-0=1/

36.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式detA的值是（）（1分）A.-2B.2C.5D.-5【答案】A【解析】detA=1×4-2×3=4-6=-

27.向量u=[1,2,3]和向量v=[4,5,6]的点积u·v是（）（1分）A.32B.18C.15D.30【答案】A【解析】u·v=1×4+2×5+3×6=4+10+18=

328.级数∑n=1to∞1/2^n的值是（）（1分）A.1B.2C.1/2D.无穷大【答案】A【解析】∑n=1to∞1/2^n是一个等比级数，其和为1/1-1/2=

19.曲线y=x^3-3x^2+2x在x=1处的切线斜率是（）（1分）A.1B.0C.-1D.2【答案】B【解析】y=3x^2-6x+2，在x=1处，y=31^2-61+2=3-6+2=-

110.空间直线L x=1+t,y=2-t,z=3+2t的方向向量是（）（1分）A.[1,-1,2]B.[1,1,-2]C.[1,0,1]D.[0,1,2]【答案】A【解析】方向向量为参数方程的系数向量，即[1,-1,2]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内连续？（）A.y=sinxB.y=1/xC.y=x^2D.y=tanxE.y=logx【答案】A、C、E【解析】y=sinx、y=x^2和y=logx在其定义域内连续，y=1/x在x≠0处连续，y=tanx在x≠kπ+π/2处连续

2.以下哪些矩阵是可逆的？（）A=[[1,0],[0,1]]B=[[2,0],[0,2]]C=[[1,2],[3,4]]D=[[0,1],[1,0]]E=[[3,0],[0,3]]【答案】A、B、D、E【解析】A、B、D、E都是可逆矩阵，C的行列式为-2，不可逆

3.以下哪些向量组是线性无关的？（）A.[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]B.[1,1,1],[1,2,3],[1,3,5]C.[1,2],[3,4]D.[1,0],[0,1],[1,1]E.[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]【答案】A、C【解析】A是单位向量组，线性无关；B、D、E的向量组线性相关，C是二维向量组，线性无关

4.以下哪些函数在其定义域内可导？（）A.y=x^3B.y=|x|C.y=2x+1D.y=x^2E.y=sinx【答案】A、C、D、E【解析】y=x^

3、y=2x+

1、y=x^2和y=sinx在其定义域内可导，y=|x|在x=0处不可导

5.以下哪些级数是收敛的？（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/2^nD.∑n=1to∞-1^n/nE.∑n=1to∞1/n^3【答案】B、C、D、E【解析】∑n=1to∞1/n^

2、∑n=1to∞1/2^n、∑n=1to∞-1^n/n和∑n=1to∞1/n^3都是收敛的，∑n=1to∞1/n是发散的

三、填空题

1.函数fx=x^3-3x^2+2x的导数fx=______（4分）【答案】3x^2-6x+2【解析】fx=3x^2-6x+

22.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的转置矩阵A^T=______（4分）【答案】[[1,3],[2,4]]【解析】A^T是将矩阵A的行和列互换得到的矩阵

3.向量u=[1,2,3]和向量v=[4,5,6]的叉积u×v=______（4分）【答案】[-3,6,-3]【解析】u×v=[1×5-2×6,2×6-3×4,1×4-2×3]=[-3,6,-3]

4.级数∑n=1to∞1/3^n的前n项和Sn=______（4分）【答案】1/31-1/3^n-1/1-1/3【解析】这是一个等比级数，其前n项和为1/31-1/3^n-1/1-1/

35.曲线y=x^2在x=1处的曲率k=______（4分）【答案】2【解析】曲率k=|y|/1+y^2^3/2，在x=1处，y=2x=2，y=2，k=|2|/1+2^2^3/2=2/9^3/2=2/27

四、判断题

1.两个可导函数的和一定是可导的（）（2分）【答案】（√）【解析】两个可导函数的和仍然是可导的

2.如果一个函数在某点处不可导，那么它在该点处一定不连续（）（2分）【答案】（×）【解析】一个函数在某点处不可导，但仍然可能在该点处连续，例如y=|x|在x=0处不连续

3.所有的收敛级数都是条件收敛的（）（2分）【答案】（×）【解析】所有的收敛级数都是绝对收敛的，条件收敛是指级数本身收敛但绝对值级数发散

4.矩阵的行列式为零时，该矩阵一定是不可逆的（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵的行列式为零时，该矩阵一定是不可逆的

5.向量空间的维数等于其基向量的个数（）（2分）【答案】（√）【解析】向量空间的维数等于其基向量的个数

五、简答题

1.简述函数极限的定义（5分）【答案】函数极限的定义设函数fx在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0|x-a|δ时，都有|fx-A|ε成立，那么称A是函数fx当x→a时的极限，记作limx→afx=A

2.简述矩阵可逆的条件（5分）【答案】矩阵可逆的条件一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当它的行列式detA不为零，即detA≠

03.简述向量空间的基本性质（5分）【答案】向量空间的基本性质向量空间V对于加法和数乘满足以下八条性质

（1）加法封闭性对于任意u,v∈V，u+v∈V；

（2）加法交换律u+v=v+u；

（3）加法结合律u+v+w=u+v+w；

（4）存在零向量存在一个零向量0∈V，使得对于任意u∈V，u+0=u；

（5）存在负向量对于任意u∈V，存在一个负向量-u∈V，使得u+-u=0；

（6）数乘封闭性对于任意k∈R，u∈V，ku∈V；

（7）数乘结合律kmu=kmu；

（8）分配律ku+v=ku+kv

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x的极值点（10分）【答案】首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0，解得x=1±√3/3然后求二阶导数fx=6x-6，分别计算f1-√3/3和f1+√3/3若fx0，则x=1-√3/3是极小值点；若fx0，则x=1+√3/3是极大值点

2.分析向量空间R^3的基和维数（10分）【答案】向量空间R^3的基是由三个线性无关的向量组成的，例如[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]这些向量线性无关，且可以表示R^3中的任意向量，因此R^3的维数是3

七、综合应用题

1.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[5,6],[7,8]]，求矩阵A+B和矩阵A·B（25分）【答案】矩阵A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]矩阵A·B=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22],[43,50]]---标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、C、E

2.A、B、D、E

3.A、C

4.A、C、D、E

5.B、C、D、E

三、填空题

1.3x^2-6x+

22.[[1,3],[2,4]]

3.[-3,6,-3]

4.1/31-1/3^n-1/1-1/

35.2

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.函数极限的定义设函数fx在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0|x-a|δ时，都有|fx-A|ε成立，那么称A是函数fx当x→a时的极限，记作limx→afx=A

2.矩阵可逆的条件一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当它的行列式detA不为零，即detA≠

03.向量空间的基本性质向量空间V对于加法和数乘满足以下八条性质

（1）加法封闭性对于任意u,v∈V，u+v∈V；

（2）加法交换律u+v=v+u；

（3）加法结合律u+v+w=u+v+w；

（4）存在零向量存在一个零向量0∈V，使得对于任意u∈V，u+0=u；

（5）存在负向量对于任意u∈V，存在一个负向量-u∈V，使得u+-u=0；

（6）数乘封闭性对于任意k∈R，u∈V，ku∈V；

（7）数乘结合律kmu=kmu；

（8）分配律ku+v=ku+kv

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x的极值点首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0，解得x=1±√3/3然后求二阶导数fx=6x-6，分别计算f1-√3/3和f1+√3/3若fx0，则x=1-√3/3是极小值点；若fx0，则x=1+√3/3是极大值点

2.分析向量空间R^3的基和维数向量空间R^3的基是由三个线性无关的向量组成的，例如[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]这些向量线性无关，且可以表示R^3中的任意向量，因此R^3的维数是3

七、综合应用题

1.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]]，矩阵B=[[5,6],[7,8]]，求矩阵A+B和矩阵A·B矩阵A+B=[[1+5,2+6],[3+7,4+8]]=[[6,8],[10,12]]矩阵A·B=[[1×5+2×7,1×6+2×8],[3×5+4×7,3×6+4×8]]=[[19,22],[43,50]]。