太原高中数学竞赛试题及答案揭秘

太原高中数学竞赛试题及答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.3B.1C.0D.2【答案】A【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间距离

32.若复数z满足z^2=1，则z的值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】解方程z^2=1得z=±

13.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=10，则a_10的值是（）（2分）A.15B.20C.25D.30【答案】B【解析】由a_4=a_1+3d得d=5/3，故a_10=a_1+9d=

204.抛掷两个骰子，则点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】满足条件的组合有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种

5.圆x^2+y^2=4的切线方程为（）（2分）A.x+y=0B.x-y=0C.x+2y=4D.2x+y=4【答案】A、B【解析】过圆外一点x_0,y_0的切线方程为x_0x+y_0y=4，当x_0=±2,y_0=0或x_0=0,y_0=±2时成立

6.函数y=sin2x的图像经过（）（2分）A.π/4,1B.π/2,0C.π/3,√3/2D.π/6,0【答案】A【解析】当x=π/4时，y=sinπ/2=

17.若向量a=1,2，b=3,k，且a∥b，则k的值是（）（2分）A.3/2B.6C.-6D.-3/2【答案】B【解析】由a∥b得3×2=1×k，解得k=

68.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心0,0到直线的距离为半径1，即|b|/√k^2+1=1，平方得k^2+b^2=

19.函数y=e^x在点0,1处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=e^xC.y=x+1D.y=x-1【答案】A【解析】y=e^x，当x=0时，y=1，切线方程为y=x+1，过点0,

110.设函数fx在[0,1]上连续，且f0=f1，则存在x_0∈0,1使得（）（2分）A.fx_0=0B.fx_0=0C.fx_0=x_0D.fx_0=1【答案】C【解析】令gx=fx-x，则g0=f00，g1=f1-10，由介值定理得存在x_0使得gx_0=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.0是偶数B.-1是奇数C.√2是无理数D.π是实数E.3i是虚数【答案】A、B、C、D、E【解析】0是2的倍数，-1是2的倍数加1，√2不可表示为分数，π是圆周率，3i是纯虚数

2.函数y=sin^2x的图像具有的性质有（）（4分）A.周期性B.奇偶性C.对称性D.单调性E.非奇非偶【答案】A、B、C【解析】y=sin^2x=1-cos2x/2，是周期函数T=π，偶函数，关于x=π/4对称

3.直线l ax+by+c=0与圆x^2+y^2=r^2相切的条件是（）（4分）A.a^2+b^2=r^2B.c^2=r^2a^2+b^2C.|c|=r√a^2+b^2D.r=√a^2+b^2【答案】B、C【解析】圆心到直线距离为半径，即|c|/√a^2+b^2=r，平方得c^2=r^2a^2+b^

24.向量a=1,2，b=3,4，则下列运算正确的有（）（4分）A.a+b=4,6B.2a=2,4C.a·b=11D.|a|=√5E.|b|=5【答案】A、B、C、D、E【解析】向量加法、数乘、数量积、模长计算均正确

5.等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则（）（4分）A.a_3=18B.公比q=3C.a_1=2D.S_5=62E.a_6=486【答案】A、B、C、D、E【解析】由a_4=a_2q^2得q=3，a_1=2，a_3=18，S_5=23^5-1/2=62，a_6=2×3^5=486

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知fx=x^2+px+q，若f1=3且fx有重根，则p=______，q=______（4分）【答案】-4；1【解析】f1=1+p+q=3，判别式p^2-4q=0，解得p=-4，q=

12.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a=2，b=√3，c=1，则cosC=______（4分）【答案】1/2【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC得cosC=4+3-1/4=1/

23.函数y=log_2x+1的图像关于直线x=-1对称的函数是______（4分）【答案】y=-log_2-x（x0）【解析】令t=x+1，y=log_2t关于t=1对称，即y=-log_21-t，即y=-log_2-x

4.在等差数列{a_n}中，若a_5+a_10=20，则a_6+a_9+a_12=______（4分）【答案】30【解析】由a_5+a_10=2a_7=20得a_7=10，故a_6+a_9+a_12=3a_9=30

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4,b=1，则√4=2√1=1；如a=-1,b=-2，则√-1不存在，√-2不存在

2.三角形的三条高线交于一点，该点称为垂心（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形垂心是三条高线的交点

3.函数y=sinx+cosx的最小正周期是2π（）（2分）【答案】（√）【解析】y=sinx+cosx=√2sinx+π/4，周期T=2π

4.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，由|z|=1得a^2+b^2=1，z^2=a^2-b^2+2abi，实部为a^2-b^2，虚部为

05.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切时，直线一定过圆心（）（2分）【答案】（×）【解析】直线过圆心时必与圆相交，相切时直线不过圆心

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为2，最小值为-1【解析】y=3x^2-6x=3xx-2，令y=0得x=0或x=2，比较y0=2，y2=-1，y3=2，故最大值为2，最小值为-

12.已知等比数列{a_n}中，a_1=1，公比q≠1，且S_3=7，求q的值（5分）【答案】q=2或q=-3【解析】S_3=1-q^3/1-q=7，解得q=2或q=-

33.求过点1,2且与直线l3x-4y+5=0平行的直线方程（5分）【答案】3x-4y-5=0【解析】所求直线方程为3x-4y+c=0，代入点1,2得3-8+c=0，解得c=-5，故方程为3x-4y-5=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-ax^2+bx，且f1=1，f-1=-1，求f2的值（10分）【答案】f2=5【解析】由f1=1-a+b=1，f-1=-1-a-b=-1，解得a=0，b=0，故fx=x^3，f2=8=

52.已知A、B是圆x^2+y^2=4上的两点，且∠AOB=60°，其中O为原点，求弦AB的长（10分）【答案】AB=2√3【解析】设Acosθ,sinθ，Bcosθ+60°,sinθ+60°，则AB^2=cosθ-cosθ+60°^2+sinθ-sinθ+60°^2=4sin^230°=3，故AB=2√3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=2c^2（10分）

（1）求cosC的值；（10分）

（2）若△ABC的面积为S，且a+b=10，求S的最大值（15分）【答案】

（1）cosC=1/2【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入a^2+b^2=2c^2得c^2=2c^2-2abcosC，解得cosC=1/2

（2）S最大值为25√3【解析】由a+b=10得b=10-a，S=1/2absinC=1/2×a10-a×√3/2，当a=5时S最大，S_max=1/2×5×5×√3/2=25√

32.已知数列{a_n}满足a_1=1，且对于任意n∈N，都有a_n+1=√a_n+2（25分）

（1）求证数列{a_n}单调递增且有上界；（10分）

（2）求limn→∞a_n的值；（10分）

（3）若数列{b_n}定义为b_n=√a_n+1-√a_n，求S_n=b_1+b_2+...+b_n的极限（5分）【答案】

（1）证明由a_2=√31=a_1，假设a_k1，则a_{k+1}=√a_k+2√31，故a_n1，即数列有下界1又a_{k+1}-a_k=√a_k+2-a_k=a_k+2-a_k^2/√a_k+2+a_k0，故数列单调递增综上，数列单调递增且有上界

（2）limn→∞a_n=2【解析】设limn→∞a_n=x，由a_{n+1}=√a_n+2得x=√x+2，解得x=2

（3）limS_n=1【解析】b_n=√a_{n+1}-√a_n=1/√a_{n+1}+√a_n，故S_n=1/√a_2+√a_1+1/√a_3+√a_2+...+1/√a_{n+1}+√a_n，当n→∞时，√a_{n+1}→√2，故S_n→1/√2+1→1---完整标准答案---

一、单选题

1.A

2.A、B

3.B

4.A

5.A、B

6.A

7.B

8.A

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、C

3.B、C

4.A、B、C、D、E

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.-4；

12.1/

23.y=-log_2-x（x0）

4.30

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值为2，最小值为-

12.q=2或q=-

33.3x-4y-5=0

六、分析题

1.f2=

52.AB=2√3

七、综合应用题

1.

（1）cosC=1/2

（2）S最大值为25√

32.

（1）证明见解析

（2）limn→∞a_n=2

（3）limS_n=1。