师大高等数学三试题及答案汇总

师大高等数学三试题及答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=3x+1D.y=x^3【答案】A【解析】绝对值函数y=|x|在x=0处不可导

2.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，且在a,b内可导，则根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=0（）A.正确B.错误【答案】B【解析】罗尔定理要求在端点处函数值相等，即fa=fb

3.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞n/n+1【答案】C【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p当p1时收敛，p=2时收敛

4.函数y=arctanx的导数是（）A.1/1+x^2B.1/xC.x/1+x^2D.-1/1+x^2【答案】A【解析】arctanx的导数为1/1+x^

25.下列积分中，值等于π的是（）A.∫[0,1]x^2dxB.∫[0,1]1/xdxC.∫[0,π]sinxdxD.∫[0,1]1dx【答案】C【解析】∫[0,π]sinxdx=-cosxevaluatedfrom0toπ=

26.设函数fx在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b]fxdx的几何意义是（）A.曲线y=fx与x轴围成的面积B.曲线y=fx与y轴围成的面积C.曲线y=fx与x轴围成的体积D.曲线y=fx与y轴围成的体积【答案】A【解析】定积分表示函数曲线与x轴围成的面积

7.下列级数中，发散的是（）A.∑n=1to∞1/2n-1B.∑n=1to∞1/2nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞1/nn+1【答案】A【解析】调和级数变形，发散

8.函数y=lnx在x0区间内的原函数是（）A.xlnxB.xlnx-xC.elnxD.x/lne【答案】B【解析】lnx的原函数为xlnx-x+C

9.下列极限中，值等于1的是（）A.limitx→0sinx/xB.limitx→∞ex/ex+1C.limitx→01-cosx/x^2D.limitx→∞lnx/x【答案】A【解析】标准极限limx→0sinx/x=

110.函数y=cosx的n阶导数在x=0处等于（）A.cosnπB.sinnπC.cosnπ/2D.sinnπ/2【答案】C【解析】cosx的n阶导数在x=0处为cosnπ/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx在x=x0处可导的必要条件？（）A.fx在x=x0处连续B.fx在x=x0处可微C.fx在x=x0处左极限存在D.fx在x=x0处右极限存在【答案】A、B、C、D【解析】可导必连续，连续必左右极限存在，可微与可导等价

2.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/n^

1.5B.∑n=1to∞-1^n/n+1C.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞1/n+1^2【答案】A、B、D【解析】p-级数p1收敛，交错级数满足条件收敛

3.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.y=|x|^3B.y=x^3C.y=3xD.y=1/x【答案】B、C【解析】绝对值高次幂函数可导，1/x在x=0处无定义

4.以下哪些是定积分的性质？（）A.∫[a,b]kfxdx=k∫[a,b]fxdxB.∫[a,b]fx+gxdx=∫[a,b]fxdx+∫[a,b]gxdxC.∫[a,b]fxdx=∫[a,c]fxdx+∫[c,b]fxdxD.∫[a,b]fxdx=∫[b,a]fxdx【答案】A、B、C【解析】定积分的线性性质、区间可加性成立，D中积分上下限交换变号

5.以下哪些是函数fx在闭区间[a,b]上连续的充分条件？（）A.fx在a,b内可导B.fx在a,b内连续C.fx在a,b内左连续且右连续D.fx在a,b内可微【答案】C【解析】闭区间连续需在端点处左右连续

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数y=2^x的反函数是______【答案】log2y（4分）

2.极限limitx→∞3x^2+2x-1/5x^2-3x+2的值等于______【答案】3/5（4分）

3.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程是______【答案】y=-x+2（4分）

4.级数∑n=1to∞1/nn+1的前n项和Sn的表达式是______【答案】1-1/n+1（4分）

5.若函数fx在[a,b]上连续，且在a,b内可导，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈a,b，使得______【答案】fξ=fb-fa/b-a（4分）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑n=1to∞an收敛，则级数∑n=1to∞|an|也收敛（）【答案】（×）【解析】绝对收敛与条件收敛区别

3.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】闭区间连续必有最值

4.若函数fx在x=x0处取得极值，且fx在x=x0处可导，则fx0=0（）【答案】（√）【解析】极值点处导数为

05.若函数fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必可微（）【答案】（√）【解析】可导与可微等价

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述罗尔定理的条件和结论【答案】罗尔定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=0【解析】考查罗尔定理应用条件

2.简述定积分的几何意义【答案】定积分表示函数曲线与x轴围成的面积，若在x轴上方则为正面积，下方为负面积【解析】考查定积分物理意义

3.简述泰勒级数的定义【答案】函数fx在x=x0处的泰勒级数是fx0+fx0x-x0/1!+fx0x-x0^2/2!+...+f^nx0x-x0^n/n!+...【解析】考查泰勒级数展开

4.简述级数收敛的必要条件【答案】若级数∑an收敛，则limn→∞an=0【解析】考查级数收敛性质

5.简述拉格朗日中值定理的条件和结论【答案】拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a【解析】考查拉格朗日中值定理

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值点【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x∈-∞,0时，fx0，单调增；当x∈0,2时，fx0，单调减；当x∈2,+∞时，fx0，单调增f0=2为极大值，f2=0为极小值【解析】考查导数应用

2.分析级数∑n=1to∞-1^n+1/n是否收敛，并说明理由【答案】该级数为交错级数，满足limn→∞1/n=0，且1/n单调递减，故级数收敛【解析】考查交错级数收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫[0,π]sinx^2dx【答案】∫[0,π]sinx^2dx=∫[0,π]1-cos2x/2dx=[x/2-sin2x/4]evaluatedfrom0toπ=π/2【解析】利用半角公式降幂后积分

2.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2f0=2，f2=0，f3=2比较得最大值为2，最小值为0【解析】考查最值问题---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.C

6.A

7.A

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、D

3.B、C

4.A、B、C

5.C

三、填空题

1.log2y

2.3/

53.y=-x+

24.1-1/n+

15.fξ=fb-fa/b-a

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.罗尔定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=

02.定积分表示函数曲线与x轴围成的面积，若在x轴上方则为正面积，下方为负面积

3.函数fx在x=x0处的泰勒级数是fx0+fx0x-x0/1!+fx0x-x0^2/2!+...+f^nx0x-x0^n/n!+...

4.若级数∑an收敛，则limn→∞an=

05.拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

六、分析题

1.fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x∈-∞,0时，fx0，单调增；当x∈0,2时，fx0，单调减；当x∈2,+∞时，fx0，单调增f0=2为极大值，f2=0为极小值

2.该级数为交错级数，满足limn→∞1/n=0，且1/n单调递减，故级数收敛

七、综合应用题

1.∫[0,π]sinx^2dx=∫[0,π]1-cos2x/2dx=[x/2-sin2x/4]evaluatedfrom0toπ=π/

22.fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2f0=2，f2=0，f3=2比较得最大值为2，最小值为0。