师大高等数学每日检验题及答案展示

师大高等数学每日检验题及答案展示

一、单选题

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=lnx+1【答案】A【解析】函数fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=\frac{fb-fa}{b-a}C.fξ=\frac{fb+fa}{2}D.fξ=fa+fb【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=\frac{fb-fa}{b-a}

3.极限\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.不存在【答案】B【解析】\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=

14.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.-2B.2C.0D.8【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=2，故最大值为

25.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.\sum_{n=1}^{\infty}nB.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}C.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}D.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}lnn【答案】C【解析】\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}为p-级数，p=21，收敛

6.若向量a=1,2,3，b=4,5,6，则向量a和b的夹角余弦值为（）（2分）A.\frac{1}{2}B.\frac{3}{\sqrt{77}}C.\frac{3}{\sqrt{55}}D.\frac{1}{\sqrt{77}}【答案】B【解析】cosθ=\frac{a\cdotb}{|a||b|}=\frac{1×4+2×5+3×6}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}\sqrt{4^2+5^2+6^2}}=\frac{32}{\sqrt{14}\sqrt{77}}=\frac{3}{\sqrt{77}}

7.曲线y=x^2+1在点1,2处的切线方程为（）（2分）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=x+1D.y=x-1【答案】A【解析】y=2x，在x=1处y=2，切线方程为y-2=2x-1，即y=2x

8.函数y=2cos3x-\frac{\pi}{4}的周期为（）（2分）A.2πB.\frac{2π}{3}C.πD.\frac{π}{3}【答案】B【解析】周期T=\frac{2π}{3}

9.若矩阵A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}，则|A|的值为（）（2分）A.2B.4C.-2D.-4【答案】D【解析】|A|=1×4-2×3=-

210.空间直线\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{1}与平面x-2y+z=1的位置关系为（）（2分）A.平行B.相交C.直线在平面上D.垂直【答案】B【解析】直线方向向量为1,-2,1，平面法向量为1,-2,1，方向向量与法向量平行，故直线与平面垂直

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内处处可导的有（）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=lnxD.fx=|x|E.fx=e^x【答案】A、B、E【解析】fx=x^

2、fx=sinx、fx=e^x在定义域内处处可导，fx=|x|在x=0处不可导，fx=lnx在x0可导

2.下列级数中，发散的有（）A.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}B.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}C.\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n}D.\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n^2}E.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}【答案】B【解析】\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}为调和级数，发散；其余级数均收敛

3.下列向量中，线性无关的有（）A.a=1,0,0B.b=0,1,0C.c=0,0,1D.d=1,1,1E.a+b+c【答案】A、B、C、D【解析】a、b、c、d四个向量线性无关，a+b+c线性相关

4.下列函数中，在x=0处取得极值的有（）A.fx=x^3B.fx=x^4C.fx=x^2D.fx=sinxE.fx=cosx【答案】C、D、E【解析】fx=x^

2、fx=sinx、fx=cosx在x=0处取得极值，fx=x^

3、fx=x^4在x=0处不取得极值

5.下列矩阵中，可逆的有（）A.A=\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}B.B=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}C.C=\begin{pmatrix}20\\02\end{pmatrix}D.D=\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}E.E=\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}【答案】A、C、D【解析】A、C、D矩阵行列式非零，可逆；B、E矩阵行列式为零，不可逆

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f1=3，则a+b+c=______（4分）【答案】3【解析】f1=2a+b=0，f1=a+b+c=3，故a+b+c=

32.极限\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2+x+3}的值为______（4分）【答案】\frac{3}{2}【解析】\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2+x+3}=\frac{3}{2}

3.若向量a=1,2,3，b=4,5,6，则向量a和b的夹角正弦值为______（4分）【答案】\frac{3\sqrt{77}}{77}【解析】sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}=\sqrt{1-\frac{3}{\sqrt{77}}^2}=\frac{3\sqrt{77}}{77}

4.函数y=2sin3x+\frac{\pi}{6}的振幅为______，周期为______（4分）【答案】2，\frac{2π}{3}【解析】振幅为2，周期为\frac{2π}{3}

5.若矩阵A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}，矩阵B=\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}，则矩阵A+B=\begin{pmatrix}____________\\____________\end{pmatrix}（4分）【答案】6，8，10，12【解析】A+B=\begin{pmatrix}1+52+6\\3+74+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}68\\1012\end{pmatrix}

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=\frac{fb-fa}{b-a}（）（2分）【答案】（√）【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=\frac{fb-fa}{b-a}

2.若向量a和b共线，则存在唯一实数k，使得a=kb（）（2分）【答案】（√）【解析】若向量a和b共线，则存在唯一实数k，使得a=kb

3.若函数fx在x=0处取得极值，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】fx在x=0处取得极值，不一定有f0=0，如fx=|x|在x=0处取得极值，但f0不存在

4.若矩阵A可逆，则矩阵A的秩为n（）（2分）【答案】（√）【解析】若矩阵A可逆，则矩阵A的秩为n

5.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处连续（）（2分）【答案】（√）【解析】若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处连续

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述拉格朗日中值定理的条件和结论（4分）【答案】拉格朗日中值定理的条件

（1）函数fx在闭区间[a,b]上连续；

（2）函数fx在开区间a,b内可导结论在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=\frac{fb-fa}{b-a}

2.简述向量线性相关和线性无关的定义（4分）【答案】向量线性相关若存在不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则称向量组a1,a2,...,an线性相关向量线性无关若只有当k1=k2=...=kn=0时，才有k1a1+k2a2+...+knan=0，则称向量组a1,a2,...,an线性无关

3.简述矩阵可逆的条件（4分）【答案】矩阵可逆的条件

（1）矩阵为方阵；

（2）矩阵行列式不为零若矩阵A为方阵且|A|≠0，则矩阵A可逆

4.简述函数在某点取得极值的必要条件（4分）【答案】函数在某点取得极值的必要条件若函数fx在x=x0处取得极值，且fx在x=x0处可导，则fx0=

05.简述级数收敛的定义（4分）【答案】级数收敛的定义给定级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n，若部分和S_n=\sum_{i=1}^{n}u_i的极限存在且为有限值S，即\lim_{n\to\infty}S_n=S，则称级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，其和为S

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调性和极值（10分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）令fx=0得x=0和x=2

（3）列表分析|x|-2|-2,0|0|0,2|2|2,3|3||------|-----|--------|----|-------|----|-------|----||fx||+|0|-|0|+|||fx||↗|极大|↘|极小|↗||

（4）极大值f0=2，极小值f2=-

22.分析级数\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n}的收敛性（10分）【答案】

（1）判断交错级数\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n}为交错级数

（2）验证条件a\frac{1}{n}单调递减；b\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0

（3）根据莱布尼茨判别法，\sum_{n=1}^{\infty}-1^n\frac{1}{n}收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）令fx=0得x=0和x=2

（3）计算端点和驻点函数值f-2=-2^3-3-2^2+2=-12-12+2=-22，f0=0^3-3×0^2+2=2，f2=2^3-3×2^2+2=8-12+2=-2，f3=3^3-3×3^2+2=27-27+2=2

（4）比较函数值最大值为2，最小值为-

222.已知向量a=1,2,3，b=4,5,6，求向量a和b的夹角余弦值和正弦值，并判断向量a和b是否共线（25分）【答案】

（1）计算向量a和b的点积a\cdotb=1×4+2×5+3×6=32

（2）计算向量a和b的模|a|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}，|b|=\sqrt{4^2+5^2+6^2}=\sqrt{77}

（3）计算夹角余弦值cosθ=\frac{a\cdotb}{|a||b|}=\frac{32}{\sqrt{14}\sqrt{77}}=\frac{32}{\sqrt{1078}}=\frac{16}{\sqrt{

269.5}}≈\frac{3}{\sqrt{77}}

（4）计算夹角正弦值sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}=\sqrt{1-\frac{3}{\sqrt{77}}^2}=\frac{3\sqrt{77}}{77}

（5）判断向量共线因为a和b的点积不为零，且a和b的模不为零，所以a和b不共线---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.B

4.B

5.C

6.B

7.A

8.B

9.D

10.B

二、多选题

1.A、B、E

2.B

3.A、B、C、D

4.C、D、E

5.A、C、D

三、填空题

1.

32.\frac{3}{2}

3.\frac{3\sqrt{77}}{77}

4.2，\frac{2π}{3}

5.6，8，10，12

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

4.见答案

5.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。