广州理科同步测试题库及答案解析

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列物质中，不属于有机物的是（）（2分）A.乙醇B.醋酸C.二氧化碳D.甲烷【答案】C【解析】有机物通常指含碳的化合物，但二氧化碳性质稳定，归为无机物

2.关于函数fx=2^x，下列说法正确的是（）（2分）A.是奇函数B.是偶函数C.在R上单调递减D.过点0,1【答案】D【解析】指数函数过点0,1，其余选项均不成立

3.某几何体的三视图如右图所示，该几何体是（）（2分）A.正方体B.长方体C.圆锥D.球体【答案】B【解析】根据三视图可知为长方体

4.若向量a=1,2，b=3,-1，则向量a·b等于（）（2分）A.5B.-5C.7D.-7【答案】A【解析】a·b=1×3+2×-1=

55.下列命题中，真命题是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.三个内角相等的三角形是等边三角形D.直角三角形中，若斜边为5，则两直角边必为

3、4【答案】A【解析】空集是任何集合的真子集

6.函数y=sin2x+π/3的图像关于（）对称（2分）A.x=π/6B.x=π/3C.x=π/2D.x=2π/3【答案】B【解析】对称轴为2x+π/3=kπ+π/2，k∈Z，当k=0时，x=π/

37.某校学生身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为10cm，则身高超过190cm的学生约占总数的（）（2分）A.2%B.5%C.15%D.68%【答案】A【解析】根据正态分布3σ原则，超过均值3σ的数据约

0.3%，190cm为均值+2σ

8.若复数z=1+i，则|z|等于（）（2分）A.1B.2C.√2D.√3【答案】C【解析】|z|=√1^2+1^2=√

29.直线y=kx-1与圆x^2+y^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k2√2B.k2√2C.|k|2√2D.|k|2√2【答案】D【解析】圆心0,0到直线距离d=|0-1|/√k^2+12，解得|k|2√

210.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5等于（）（2分）A.31B.63C.127D.255【答案】A【解析】通项公式a_n=2^n-1，a_5=32-1=31

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）（4分）A.等差数列中，若a_m=a_n，则m=nB.若fx是奇函数，则f0=0C.在△ABC中，若∠A=∠B，则AC=BCD.直线y=kx+b与x轴相交，则k≠0【答案】C、D【解析】A错，可能m+n=2p；B错，f0=0不成立；C对，等角对等边；D对，k=0为水平线

2.关于函数fx=|x-1|，下列说法正确的有（）（4分）A.在x=1处取得最小值B.是偶函数C.单调递增区间为[1,+∞D.图像关于x=1对称【答案】A、C、D【解析】fx在x=1处取最小值0；非偶函数；在[1,+∞单调递增；图像关于x=1对称

3.已知向量a=1,1，b=1,-1，则下列等式正确的有（）（4分）A.a+b=2,0B.a·b=0C.|a+b|=√2D.a×b=2【答案】A、B、C【解析】a+b=2,0；a·b=1-1=0；|a+b|=√2^2+0^2=2；a×b非标量积定义

4.关于圆x^2+y^2-4x+6y-3=0，下列说法正确的有（）（4分）A.圆心坐标为2,-3B.半径为√10C.与y轴相切D.过原点【答案】B、D【解析】标准式为x-2^2+y+3^2=16；圆心2,-3；半径4；代入0,0满足方程

5.若fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则下列等式可能成立的有（）（4分）A.f-1=-2B.f0=0C.f2=4D.f-2=-f2【答案】A、B、D【解析】奇函数f-x=-fx；f0=0；由f2=-f-2=-f2得f2=0，不满足f1=2

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像过点1,0，且顶点在直线y=x上，则a+b+c=______（4分）【答案】1【解析】f1=a+b+c=0；顶点1,-1/2a在y=x，得-1/2a=1，a=-2，b=1，c=

02.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，且过点1,1，则k+b=______（4分）【答案】1【解析】圆心0,0到直线距离d=|b|/√k^2+1=1；代入1,1得|k+b|=√k^2+1，联立解得k+b=

13.等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，则a_6+a_15=______（4分）【答案】38【解析】S_n=n/22a_1+n-1d；由S_10-S_20=-280得10a_1+45d=-140；代入S_20解得a_1=10，d=-8；a_6+a_15=2a_1+19d=

384.某几何体的三视图如下图所示，该几何体的表面积是______（4分）【答案】20π【解析】由三视图可知为圆柱，底面半径2，高4；表面积=2π×2^2+2π×2×4=20π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4，b=-1，则√a=2√b无意义

2.若fx是定义在R上的偶函数，且fx单调递增，则f-2f1（）（2分）【答案】（×）【解析】f-2=f2，f2f

13.在△ABC中，若sinA=sinB，则△ABC是等腰三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】大角对大边，sinA=sinB说明A=B

4.若向量a=1,1，b=1,-1，则a⊥b（）（2分）【答案】（√）【解析】a·b=1-1=

05.若复数z=a+bia,b∈R，则|z|^2=a^2+b^2（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|^2=a+bia-bi=a^2+b^2

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（4分）【答案】最小值为3，当x=-2时取得【解析】分段函数fx x-2时，fx=-2x-1；x≥-2时，fx=3；最小值为

32.已知函数fx=2cos2x+π/3，求其周期及图像的对称轴方程（4分）【答案】周期T=π，对称轴方程x=kπ-π/6，k∈Z【解析】周期T=2π/2=π；对称轴2x+π/3=kπ+π/2，x=kπ-π/

63.已知向量a=3,4，b=1,2，求向量c满足c//a且|c|=5（4分）【答案】c=15,20或c=-15,-20【解析】设c=λa=3λ,4λ；|c|=5得√9λ^2+16λ^2=5，解得λ=±1/√5；c=±3/√5,4/√5×5=±15,20

六、分析题（每题8分，共16分）

1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，证明数列{a_n-1}是等比数列（8分）【证明】a_n+1-1=3a_n-1+2；a_n+1-1=3a_n-3+2；a_n+1-1=3a_n-1；故{a_n-1}是首项为0，公比为3的等比数列

2.已知函数fx=x^3-3x+1，讨论其单调性（8分）【解析】fx=3x^2-3；令fx=0得x=±1；当x-1或x1时，fx0，函数单调递增；当-1x1时，fx0，函数单调递减

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.某工厂生产A、B两种产品，每生产1吨A产品需消耗煤3吨，劳动力10人天，获利6万元；每生产1吨B产品需消耗煤2吨，劳动力8人天，获利4万元工厂现有煤60吨，劳动力800人天，问如何安排生产才能使获利最大？（10分）【解】设生产A产品x吨，B产品y吨；约束条件3x+2y≤60；10x+8y≤800；x≥0，y≥0；目标函数z=6x+4y；解得最优解为x=8，y=18；最大获利z=6×8+4×18=120万元

2.已知圆C x^2+y^2-2x+4y-4=0，直线l y=kx-1，求k的取值范围，使得直线l与圆C相交、相切、相离（10分）【解】圆心1,-2，半径r=√1^2+4^2--4=3；圆心到直线距离d=|k×1-1-2|/√k^2+1=|k-3|/√k^2+1；相交d3⇒|k-3|3√k^2+1⇒k∈-∞,0∪3/4,+∞；相切d=3⇒k=0；相离d3⇒k∈0,3/4。