微积分下考试必做题目及答案

微积分下考试必做题目及答案

一、单选题

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=x^3B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.函数fx=sinx在[0,π]上的积分值为（）（2分）A.1B.2C.πD.0【答案】B【解析】∫_0^πsinxdx=-cosx|_0^π=--1-1=

23.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑_n=1^∞1/nB.∑_n=1^∞1/n^2C.∑_n=1^∞1/n^3D.∑_n=1^∞1/n+1【答案】B【解析】p-级数测试，p=21时收敛

4.函数fx=x^2在[1,2]上的中值定理中，ξ的取值范围是（）（2分）A.[1,2]B.1,2C.1ξ2D.ξ=1或ξ=2【答案】C【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈1,2使fξ=f2-f1/2-1=

35.下列极限中，正确的是（）（2分）A.limit_x→0sinx/x=0B.limit_x→0e^x-1/x=1C.limit_x→∞x^2/x^3=1D.limit_x→01/x=0【答案】B【解析】常用极限公式，B选项是e^x在x=0的导数定义

6.函数fx=x^3-3x在-2,2内存在零点个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】f-2=-2，f0=0，f2=2，由罗尔定理，存在两个零点

7.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^5项的系数是（）（2分）A.1B.5!C.1/5!D.5【答案】C【解析】泰勒公式中x^n项系数为n!/n!=1/n!，n=5时为1/5!

8.函数fx=arctanx在x=0处的导数是（）（2分）A.1B.0C.1/2D.无穷大【答案】A【解析】fx=1/1+x^2，f0=

19.下列级数中，绝对收敛的是（）（2分）A.∑_n=1^∞-1^n/nB.∑_n=1^∞-1^n/n^2C.∑_n=1^∞1/nD.∑_n=1^∞1/n^3【答案】D【解析】绝对值级数∑1/n^3是p-级数，p=31收敛

10.函数fx=lnx在1,2内的平均值是（）（2分）A.1/3B.log2C.log3D.log2-log1/2-1=log2【答案】D【解析】平均值公式，f2-f1/2-1=log2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=|x|D.fx=e^x【答案】A、B、D【解析】C选项在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.下列级数中，条件收敛的有（）A.∑_n=1^∞-1^n/nB.∑_n=1^∞-1^n/n^2C.∑_n=1^∞1/nD.∑_n=1^∞1/n^3【答案】A、B【解析】A是交错级数，满足莱布尼茨判别法条件收敛；B是绝对收敛；C、D发散

3.下列极限中，存在且有限的有（）A.limit_x→0sinx/xB.limit_x→0e^x-1/xC.limit_x→∞x^2/x^3D.limit_x→01/x【答案】A、B【解析】C极限为0；D极限为无穷大

4.下列函数中，在-∞,∞上连续的有（）A.fx=x^2B.fx=1/xC.fx=e^xD.fx=lnx【答案】A、C【解析】B、D分别在x=0处不连续

5.下列级数中，发散的有（）A.∑_n=1^∞1/nB.∑_n=1^∞1/n^2C.∑_n=1^∞1/n^3D.∑_n=1^∞1/n+1【答案】A【解析】B、C、D都是p-级数，p1收敛；A是调和级数发散

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数是______（4分）【答案】0【解析】fx=3x^2-3，f1=3-3=

02.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中，x^3项的系数是______（4分）【答案】1/6【解析】泰勒公式中x^n项系数为1/n!，n=3时为1/

63.函数fx=lnx在1,2内的平均值是______（4分）【答案】log2【解析】平均值公式，f2-f1/2-1=log

24.级数∑_n=1^∞-1^n/n^2的前三项和是______（4分）【答案】1-1/4+1/9【解析】取n=1,2,3代入通项求和

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个可导函数的和仍可导（）（2分）【答案】（√）【解析】导数运算法则，和的导数等于导数的和

2.所有发散的级数都是发散的（）（2分）【答案】（√）【解析】发散定义，若不收敛则必发散

3.若函数在某区间内连续，则该函数在该区间内必存在原函数（）（2分）【答案】（√）【解析】连续函数必有原函数

4.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

5.若级数∑a_n绝对收敛，则级数∑a_n必收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】绝对收敛必条件收敛

五、简答题（每题5分，共10分）

1.简述拉格朗日中值定理的条件和结论（5分）【答案】条件函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导结论存在ξ∈a,b，使fξ=fb-fa/b-a

2.简述交错级数莱布尼茨判别法的条件（5分）【答案】条件

①通项a_n0；

②a_n单调递减；

③lim_n→∞a_n=0结论交错级数∑-1^na_n收敛

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，在0,1上可导，且f0=f1=0证明存在ξ∈0,1，使fξ=2ξ（10分）【答案】构造辅助函数gx=fx-x^2，则g0=g1=0由罗尔定理，存在ξ∈0,1，使gξ=0，即fξ-2ξ=0所以存在ξ∈0,1，使fξ=2ξ

2.设函数fx=x^3-3x+2，讨论其在-∞,∞上的单调性和极值（10分）【答案】求导fx=3x^2-3=3x-1x+1令fx=0，得x=-1，x=1在-∞,-1上，fx0，单调增；在-1,1上，fx0，单调减；在1,∞上，fx0，单调增f-1=4为极大值；f1=0为极小值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫_0^πxsinx+cosxdx（25分）【答案】原式=∫_0^πxsinxdx+∫_0^πcosxdx第一项用分部积分，令u=x，dv=sinxdx，得∫xsinxdx=-xcosx+∫cosxdx=-xcosx+sinx所以原式=[-xcosx+sinx]_0^π+sinx|_0^π=-πcosπ+sinπ+0-0+0-0=-π-1+0+0=π

2.求函数fx=x^2lnx在[1,2]上的最大值和最小值（25分）【答案】求导fx=2xlnx+x=x2lnx+1令fx=0，得2lnx+1=0，x=e^-1/2在[1,2]上，fx在x=e^-1/2处变号，为驻点计算f1=0，f2=4ln2，fe^-1/2=e^-1/2^2lne^-1/2=-e^-1所以最小值是-e^-1，最大值是4ln2---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.C

5.B

6.C

7.C

8.A

9.D

10.D

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B

3.A、B

4.A、C

5.A

三、填空题

1.

02.1/

63.log

24.1-1/4+1/9

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.见答案

2.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。