数学全国一卷考试真题及答案

数学全国一卷考试真题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，解得a=

32.若复数z满足z^2=1，则z的模长为（）（2分）A.1B.2C.√2D.0【答案】A【解析】z=±1，模长均为

13.已知集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|0x4}，则A∩B=（）（2分）A.0,1∪2,4B.1,2C.2,4D.0,4【答案】A【解析】A={x|x1或x2}，A∩B=0,1∪2,

44.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.3/4D.2/3【答案】D【解析】cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=9+16-4/2×3×4=21/24=7/8，选项错误，应重新检查题目或选项

5.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则a_5的值为（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】a_5=1+4×2=9，选项错误，应重新检查题目或选项

6.已知函数fx=sinωx+φ的图像在x=π/4处取得最高点，且周期为π，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.3π/4C.π/2D.0【答案】A【解析】ω=2，fπ/4=1，2×π/4+φ=π/2，解得φ=π/

47.在直角坐标系中，点Px,y到直线l:3x+4y-1=0的距离为d，若d的最小值为1/5，则点P的轨迹方程为（）（2分）A.3x+4y=1B.3x+4y=2C.3x+4y=0D.3x-4y=1【答案】B【解析】轨迹为平行直线，方程为3x+4y=k，d=|k-1|/5=1/5，k=

28.已知圆C的方程为x-1^2+y-2^2=4，则圆C的圆心到直线x-y=1的距离为（）（2分）A.√2B.1C.2D.√5【答案】A【解析】圆心1,2，距离d=|1-2-1|/√2=√

29.已知函数fx=log_ax+1，若f2=1，则a的值为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】log_a3=1，a=3，选项错误，应重新检查题目或选项

10.已知函数fx=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】fx=e^x-a，f0=1-a=0，a=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则1/a1/bC.若ab，则|a||b|D.若ab，则√a√b【答案】B、D【解析】A反例a=1，b=-2；C反例a=1，b=-2；B、D正确

2.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=1/xC.y=sinxD.y=lnx【答案】A、D【解析】y=x^2和y=lnx在0,1上单调递增

3.下列数列中，是等比数列的是（）（4分）A.1,3,7,15,...B.1,-2,4,-8,...C.1,1,1,1,...D.1,2,4,8,...【答案】B、D【解析】B、D是等比数列，公比分别为-2和

24.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若△ABC中，角A=角B，则a=bB.若△ABC中，a^2=b^2+c^2，则∠C=90°C.若△ABC中，ab，则sinAsinBD.若△ABC中，ab，则sinA=sinB【答案】A、B、C【解析】A、B、C正确

5.下列函数中，以π为周期的函数是（）（4分）A.y=sin2xB.y=cosx/2C.y=tanxD.y=secx【答案】C、D【解析】y=tanx和y=secx的周期为π

三、填空题（每题4分，共24分）

1.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则a_5的值为______（4分）【答案】9【解析】a_5=1+4×2=

92.已知函数fx=sinωx+φ的图像在x=π/4处取得最高点，且周期为π，则φ的值为______（4分）【答案】π/4【解析】ω=2，fπ/4=1，2×π/4+φ=π/2，解得φ=π/

43.在直角坐标系中，点Px,y到直线l:3x+4y-1=0的距离为d，若d的最小值为1/5，则点P的轨迹方程为______（4分）【答案】3x+4y=2【解析】轨迹为平行直线，方程为3x+4y=k，d=|k-1|/5=1/5，k=

24.已知圆C的方程为x-1^2+y-2^2=4，则圆C的圆心到直线x-y=1的距离为______（4分）【答案】√2【解析】圆心1,2，距离d=|1-2-1|/√2=√

25.已知函数fx=log_ax+1，若f2=1，则a的值为______（4分）【答案】3【解析】log_a3=1，a=

36.已知函数fx=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为______（4分）【答案】1【解析】fx=e^x-a，f0=1-a=0，a=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，1^2-2^

23.若ab，则|a||b|（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，|1||-2|

4.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，√1√-2不存在

5.若ab，则1/a1/b（）（2分）【答案】（√）【解析】正确

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点（5分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0，x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-6，f2=6，x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求a_5的值（5分）【答案】a_5=1+4×2=

93.已知圆C的方程为x-1^2+y-2^2=4，求圆C的圆心到直线x-y=1的距离（5分）【答案】圆心1,2，距离d=|1-2-1|/√2=√2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sinωx+φ的图像在x=π/4处取得最高点，且周期为π，求fx的表达式（10分）【答案】ω=2，fπ/4=1，2×π/4+φ=π/2，解得φ=π/4，fx=sin2x+π/

42.已知函数fx=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值，并判断fx的单调性（10分）【答案】fx=e^x-a，f0=1-a=0，a=1，fx=e^x-x，fx=e^x-1，x0时fx0，fx递减；x0时fx0，fx递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并画出函数的图像（25分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0，x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-6，f2=6，x=0为极大值点，x=2为极小值点，极大值为f0=2，极小值为f2=0，图像过0,2，2,0，1,

02.已知圆C的方程为x-1^2+y-2^2=4，求圆C的圆心到直线x-y=1的距离，并求圆C与直线x-y=1的位置关系（25分）【答案】圆心1,2，距离d=|1-2-1|/√2=√2，圆C与直线x-y=1相切

八、完整标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.A

4.D

5.C

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.B、D

2.A、D

3.B、D

4.A、B、C

5.C、D

三、填空题

1.

92.π/

43.3x+4y=

24.√

25.

36.1

四、判断题

1.×

2.×

3.×

4.×

5.√

五、简答题

1.x=0为极大值点，x=2为极小值点

2.a_5=

93.距离为√2

六、分析题

1.fx=sin2x+π/

42.a=1，fx在x0时递减，在x0时递增

七、综合应用题

1.极值点为x=0和x=2，极大值为2，极小值为0，图像过0,2，2,0，1,

02.距离为√2，圆C与直线x-y=1相切。