数学分析章节测试题及参考答案

数学分析章节测试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】B【解析】函数fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.下列极限正确的是（）（2分）A.limx→0sin1/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→0e^x/x=1D.limx→01/x=0【答案】C【解析】limx→0e^x/x=1是由洛必达法则得出的

3.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.8B.0C.4D.-8【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=8，最大值为

84.下列级数收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n【答案】B【解析】p-级数测试表明，当p1时级数收敛，这里p=

25.下列函数在定义域内连续的是（）（2分）A.fx=1/xB.fx=√xC.fx=|x|D.fx=tanx【答案】C【解析】fx=|x|在所有实数上连续

6.下列积分值为0的是（）（2分）A.∫[0,1]sinxdxB.∫[0,1]cosxdxC.∫[0,1]xdxD.∫[0,1]1dx【答案】B【解析】∫[0,1]cosxdx=sinxfrom0to1=sin1-sin0=sin

17.下列函数中，在x=0处可微的是（）（2分）A.fx=x^3/3B.fx=x^2/2C.fx=xD.fx=|x|【答案】C【解析】fx=x在x=0处可微，导数为

18.下列极限不存在的是（）（2分）A.limx→0sinx/xB.limx→0cosx/xC.limx→0e^xD.limx→01/x【答案】D【解析】limx→01/x不存在，因为当x趋近于0时，1/x趋近于无穷大或负无穷大

9.下列函数中，在x=0处不连续的是（）（2分）A.fx=1B.fx=xC.fx=x^2D.fx=|x|【答案】D【解析】fx=|x|在x=0处不连续，因为其左右极限不相等

10.下列级数发散的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/2^nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞1/3^n【答案】C【解析】调和级数∑n=1to∞1/n是发散的

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】A、C、D【解析】fx=x^2,fx=e^x,fx=sinx在x=0处都可导

2.下列级数收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞1/n^3C.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】A、B、D【解析】p-级数测试表明，当p1时级数收敛，这里p=2和p=

33.下列函数在定义域内连续的有（）（4分）A.fx=1/xB.fx=√xC.fx=|x|D.fx=tanx【答案】B、C【解析】fx=√x和fx=|x|在所有实数上连续

4.下列积分值为0的有（）（4分）A.∫[0,1]sinxdxB.∫[0,1]cosxdxC.∫[0,1]xdxD.∫[0,1]1dx【答案】A、B【解析】∫[0,1]sinxdx=sin1-sin0=sin1，∫[0,1]cosxdx=sinxfrom0to1=sin1-sin0=sin

15.下列极限存在且等于1的有（）（4分）A.limx→0sinx/xB.limx→0cosx/xC.limx→0e^x/xD.limx→01/x【答案】A、C【解析】limx→0sinx/x=1，limx→0e^x/x=1

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最小值是__________（4分）【答案】-2【解析】f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=8，最小值为-

22.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和为__________（4分）【答案】21-1/2^n【解析】这是一个等比级数，前n项和为a1-r^n/1-r，这里a=1/2，r=1/

23.函数fx=sinx在区间[-π,π]上的积分值为__________（4分）【答案】0【解析】∫[-π,π]sinxdx=-cosxfrom-πtoπ=-cosπ--cos-π=

04.级数∑n=1to∞1/n^2的收敛性为__________（4分）【答案】收敛【解析】p-级数测试表明，当p1时级数收敛，这里p=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个正数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（√）【解析】任何两个正数相加，和一定大于其中的每一个数

2.函数fx=x^2在x=0处可导（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=2x，f0=0，所以fx=x^2在x=0处可导

3.级数∑n=1to∞1/n是收敛的（）（2分）【答案】（×）【解析】调和级数∑n=1to∞1/n是发散的

4.函数fx=|x|在x=0处连续但不可导（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=|x|在x=0处连续但左右导数不相等，所以不可导

5.函数fx=e^x在x=0处可微（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=e^x，f0=1，所以fx=e^x在x=0处可微

五、简答题（每题5分，共15分）

1.什么是连续函数？请举例说明（5分）【答案】连续函数是指在一个区间内，函数的图像是连绵不断的，没有断点或跳跃例如，函数fx=x^2是一个连续函数，因为对于任何x值，函数值都是连续变化的

2.什么是导数？导数有什么物理意义？（5分）【答案】导数是指函数在某一点处的瞬时变化率物理意义是，如果函数表示物体的位置随时间的变化，那么导数就表示物体的瞬时速度

3.什么是级数？级数收敛的必要条件是什么？（5分）【答案】级数是将无穷多个数相加的表达式级数收敛的必要条件是，级数的通项趋于零

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值（10分）【答案】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1fx=6x，f1=60，所以x=1是极小值点；f-1=-60，所以x=-1是极大值点f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=8，最大值为8，最小值为-

82.分析级数∑n=1to∞1/n^2的收敛性（10分）【答案】这是一个p-级数，p=21，根据p-级数测试，级数收敛具体来说，∑n=1to∞1/n^2收敛到π^2/6

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的定积分，并分析其几何意义（25分）【答案】∫[-2,2]x^3-3xdx=[x^4/4-3x^2/2]from-2to2=[2^4/4-32^2/2--2^4/4-3-2^2/2]=[4-6-4-6]=0几何意义是函数在区间[-2,2]上的面积，由于函数在区间[-2,2]上关于原点对称，正负面积相消，总面积为

02.讨论级数∑n=1to∞-1^n/n的收敛性，并说明其收敛类型（25分）【答案】这是一个交错级数，满足交错级数测试的条件通项趋于零，且绝对值单调递减因此，级数收敛具体来说，∑n=1to∞-1^n/n是条件收敛的，而不是绝对收敛的

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.B

5.C

6.B

7.C

8.D

9.D

10.C

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、D

3.B、C

4.A、B

5.A、C

三、填空题

1.-

22.21-1/2^n

3.

04.收敛

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.连续函数是指在一个区间内，函数的图像是连绵不断的，没有断点或跳跃例如，函数fx=x^2是一个连续函数，因为对于任何x值，函数值都是连续变化的

2.导数是指函数在某一点处的瞬时变化率物理意义是，如果函数表示物体的位置随时间的变化，那么导数就表示物体的瞬时速度

3.级数是将无穷多个数相加的表达式级数收敛的必要条件是，级数的通项趋于零

六、分析题

1.fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1fx=6x，f1=60，所以x=1是极小值点；f-1=-60，所以x=-1是极大值点f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=8，最大值为8，最小值为-

82.这是一个p-级数，p=21，根据p-级数测试，级数收敛具体来说，∑n=1to∞1/n^2收敛到π^2/6

七、综合应用题

1.∫[-2,2]x^3-3xdx=[x^4/4-3x^2/2]from-2to2=[2^4/4-32^2/2--2^4/4-3-2^2/2]=[4-6-4-6]=0几何意义是函数在区间[-2,2]上的面积，由于函数在区间[-2,2]上关于原点对称，正负面积相消，总面积为

02.这是一个交错级数，满足交错级数测试的条件通项趋于零，且绝对值单调递减因此，级数收敛具体来说，∑n=1to∞-1^n/n是条件收敛的，而不是绝对收敛的。