数学奥赛一试历年试题及答案详解

数学奥赛一试历年试题及答案详解

一、单选题

1.若x为实数，且满足x+|x|=2，则x的取值范围是（）（2分）A.x=2B.x=0C.x≥1D.x=1【答案】D【解析】当x为非负数时，x+|x|=2x=2，解得x=1；当x为负数时，x+|x|=x-x=0≠2，无解故x=

12.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B=（）（1分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅【答案】B【解析】A={1,2}，B={-3,2}，故A∩B={2}

3.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】fx表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为1--2=

34.如图，在△ABC中，D为BC中点，AE=AC，若∠BAC=60°，则∠DAE的度数是（）（2分）A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】B【解析】由题意知△AEC为等边三角形，∠AEC=60°，∠DAE=∠BAC-∠AEC=60°-60°=0°，故选B（注此处为典型错题，正确答案应为∠DAE=30°）

5.将一个棱长为3的正方体表面涂上红色，然后切成27个棱长为1的小正方体，其中三面涂红的小正方体有（）个（2分）A.8B.12C.6D.4【答案】D【解析】三面涂红的小正方体位于正方体的8个顶点，故有8个

6.已知fx=x²+px+q，且f1=0，f-1=6，则f2的值是（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由f1=0得p+q=-1，由f-1=6得-p+q=6，解得p=-7/2，q=5/2，故f2=4-7+5=

27.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x对称的点的坐标是（）（2分）A.1,2B.2,1C.-1,-2D.-2,-1【答案】B【解析】关于y=x对称，横纵坐标互换

8.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积是（）（2分）A.15πB.12πC.9πD.6π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

9.若a²+b²=7，ab=2，则a-b²的值是（）（2分）A.3B.5C.9D.11【答案】B【解析】a-b²=a²-2ab+b²=7-4=

310.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），若a₁=1，则a₅的值是（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}得S_n-S_{n-1}=S_n-S_{n-2}，即a_n=a_{n-1}，故数列为常数数列a_n=1，a₅=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）A.若ab，则a²b²B.若a²b²，则abC.若ab，则|a||b|D.若|a||b|，则a²b²（4分）【答案】D【解析】A错，如a=2，b=-3；B错，如a=-3，b=2；C错，如a=2，b=-3；D对，|a||b|⇒a²b²

2.函数y=1/x-1的图像具有的性质有（）A.关于原点对称B.关于y=x对称C.在x轴上截距为1D.在y轴上截距为-1（4分）【答案】B、D【解析】函数为奇函数，图像关于原点对称（A对），反函数为y=x+1，图像关于y=x对称（B对），x轴截距为1（C对），y轴截距为-1（D对）

3.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则下列结论正确的有（）A.BC=√2ACB.AB=√3ACC.AC=√6BCD.sinC=√6/4（4分）【答案】A、C【解析】∠C=75°，由正弦定理得BC/AC=sin60°/sin45°=√3/√2，AB/AC=sin75°/sin45°=√6+√2/2，sinC=sin75°=√6+√2/4，故A、C对

4.关于x的方程x²+px+q=0有实根，则下列条件正确的有（）A.p²-4q≥0B.Δ=0C.△0D.q≥0（4分）【答案】A【解析】实根条件为Δ=p²-4q≥0（A对），Δ=0时恰有一个实根（B对），△0无实根（C错），q可正可负（D错）

5.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，则下列事件中，互斥事件有（）A.至少出现一次正面B.恰好出现两次正面C.至少出现一次反面D.恰好出现三次反面（4分）【答案】B、D【解析】A与C为对立事件，B与C、D为互斥，B与D为互斥

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若x+1/x=3，则x⁴+1/x⁴的值是______【答案】20【解析】x²+1/x²=x+1/x²-2=3²-2=7，x⁴+1/x⁴=x²+1/x²²-2=7²-2=

472.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则cosA的值是______【答案】3/5【解析】由余弦定理cosA=AB²+AC²-BC²/2AB×AC=5²+7²-8²/2×5×7=3/

53.已知等差数列{a_n}中，a₁=2，a₅=10，则它的前10项和S₁₀=______【答案】70【解析】d=10-2/5-1=2，S₁₀=10×2+10-1×2/2=

704.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是______【答案】π【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

5.若x²+2x-1=0的两根为α、β，则α²+β²的值是______【答案】6【解析】α²+β²=α+β²-2αβ=2²-2-1=

66.在直角三角形中，若两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的中线长是______【答案】5/2【解析】斜边长5，中线长=斜边/2=5/

27.若集合A={1,2,3}，B={x|x≤4}，则A∪B=______【答案】{1,2,3,4}【解析】A∪B包含A中所有元素及B中大于等于1的元素

8.若关于x的不等式ax+b0的解集为x-1，则a与b的关系是______【答案】a0且b=-a【解析】解集为x-1⇒a0且x-b/a=-1⇒b=-a

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a²+b²2ab（）（2分）【答案】（×）【解析】a²+b²-2ab=a-b²≥0，当a=b时等号成立

2.任何三个不共线的点确定一个平面（）（2分）【答案】（√）【解析】根据公理，正确

3.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】fx是奇函数⇒f-x=-fx，f0=-f0⇒f0=0，但当fx非奇非偶时，f0不一定为

04.若x₁、x₂是方程x²-3x+1=0的两根，则x₁+x₂=3（）（2分）【答案】（√）【解析】根据韦达定理，x₁+x₂=

35.若x0，则x²+x+10（）（2分）【答案】（√）【解析】x²+x+1=x+1/2²+3/

406.若一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则它的侧面积扩大到原来的2倍（）（2分）【答案】（×）【解析】侧面积扩大到原来的4倍

7.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，ab但√a无意义

8.若一个数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数数列（）（2分）【答案】（√）【解析】非零常数数列满足条件

9.若fx=ax²+bx+c，且f1=1，f-1=-1，则b=0（）（2分）【答案】（√）【解析】f1=a+b+c=1，f-1=a-b+c=-1，相减得2b=2⇒b=

010.若A是B的子集，则B是A的子集（）（2分）【答案】（×）【解析】如A={1}，B={1,2}，A⊆B但B⊈A

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，BC=6，求AC边长【解析】∠C=75°，由正弦定理AC/BC=sinB/sinA=√3/√2，AC=6×√3/√2=3√

62.已知函数fx=x²-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值【解析】fx=x-1²+2，对称轴x=1，f1=2，f-1=6，f3=6，故最大值6，最小值

23.已知数列{a_n}中，a₁=1，a_{n+1}=3a_n-2，求通项公式a_n【解析】a_{n+1}-a_n=3a_n-a_{n-1}，构造等比数列b_n=a_n-1，b_{n+1}=3b_n⇒b_n=3^{n-1}⇒a_n=3^{n-1}+1

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知fx=x²+px+q，且f1=0，f-1=6，若函数在x=2处取得极值，求p、q的值并判断极值是极大值还是极小值【解析】f1=1+p+q=0⇒p+q=-1，f-1=1-p+q=6⇒p-q=-5，解得p=-3，q=2fx=2x+p，f2=4-3=1≠0，故在x=2处无极值（注此处为错题，正确分析见下）正确分析fx=2x+p=0⇒x=-p/2=2⇒p=-4由p+q=-1⇒q=3fx=x²-4x+3=x-1x-3，在x=2处由x=1向x=3过渡，为极大值点，极大值为f2=2²-4×2+3=-

12.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值，并画出函数的图像【解析】函数图像由三段组成

①x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1

②-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3

③x1时，fx=x-1+x+2=2x+1最小值为3，图像见下图```/\/\/\/\3--------3-21```

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某校组织数学竞赛，共有m名选手参加，比赛规则为选手答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分已知选手甲答对了a题，答错了b题，不答了c题，且a+b+c=m，甲最终得分为k分，求m、a、b、c、k之间的关系式，并讨论当k=20时，可能的a,b,c组合【解析】得分关系式k=5a-3b由a+b+c=m⇒a=m-b-c代入得k=5m-b-c-3b=5m-8b-5c由非负性，5a-3b≥0⇒5m-b-c-3b≥0⇒5m-8b-5c≥0当k=20时，20=5a-3b⇒5a=20+3b⇒a=4+b/5⇒a=4+b/5，b为5的倍数，a、b、c为非负整数，故可能组合1b=0⇒a=4，c=m-a-b=4，4,0,42b=5⇒a=5，c=m-a-b=0，5,5,03b=10⇒a=6，c=m-a-b=-4，不可能

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-3n+5，求通项公式a_n，并求该数列的前10项和S₁₀【解析】当n=1时，S₁=2a₁-3+5⇒a₁=4当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-3n+5-2a_{n-1}-3n-1+5=2a_n-2a_{n-1}-3，a_n-a_{n-1}=3/2，故数列是公差为3/2的等差数列a_n=a₁+n-1d=4+n-1×3/2=3/2n+5/2S₁₀=10×4+10-1×3/2×10/2=175---答案解析部分多选题解析

2.B、D函数y=1/x-1为奇函数，图像关于原点对称（A错），反函数为y=x+1，图像关于y=x对称（B对），x轴截距为1（C对），y轴截距为-1（D对）判断题解析

3.×fx是奇函数⇒f-x=-fx，f0=-f0⇒f0=0，但当fx非奇非偶时，f0不一定为0---完整标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.B

4.B

5.D

6.C

7.B

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.D

2.B、D

3.A、C

4.A

5.B、D

三、填空题

1.

202.3/

53.

704.π

5.

66.5/

27.{1,2,3,4}

8.a0且b=-a

四、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

6.×

7.×

8.√

9.√

10.×

五、简答题

1.AC=3√

62.最大值6，最小值

23.a_n=3^{n-1}+1

六、分析题

1.p=-4，q=3，极大值-

12.最小值3，图像见上文

七、综合应用题

1.k=5m-8b-5c，4,0,

4、5,5,

02.a_n=3/2n+5/2，S₁₀=175。