数学试题调研选做题及答案

数学试题调研选做题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）（2分）A.y=2^{-x}B.y=3x+1C.y=-log_{2}xD.y=

0.5^x【答案】B【解析】y=3x+1是一次函数，其斜率为正，因此在（0，+∞）上单调递增

2.若α是第二象限角，且sinα=3/5，则cosα的值为（）（2分）A.-4/5B.4/5C.-3/5D.3/5【答案】A【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cos^2α=1-sin^2α=1-3/5^2=1-9/25=16/25，因为α是第二象限角，cosα0，所以cosα=-4/

53.等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，则其公差d为（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】由等差数列的通项公式a_n=a_1+n-1d，得a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14，解得4d=12，d=

34.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（2分）A.15πcm^2B.20πcm^2C.25πcm^2D.30πcm^2【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式为S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长，代入r=3cm，l=5cm，得S=π×3×5=15πcm^

25.函数fx=x^2-4x+3的图像是（）（2分）A.开口向上的抛物线B.开口向下的抛物线C.关于y轴对称的抛物线D.关于x轴对称的抛物线【答案】A【解析】函数fx=x^2-4x+3的二次项系数为正，因此其图像是开口向上的抛物线

6.若向量a=1，2，向量b=3，-1，则向量a+b的坐标为（）（2分）A.4，1B.2，3C.1，4D.3，4【答案】A【解析】向量a+b的坐标为a的坐标与b的坐标对应相加，即1+3，2+-1=4，

17.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的大小为（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-60°-45°=75°

8.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.2^33^2B.3^22^3C.2^23^2D.3^32^3【答案】B【解析】计算得2^3=8，3^2=9，所以3^22^

39.直线y=2x+1与x轴的交点坐标为（）（2分）A.0，1B.1，0C.0，-1D.-1，0【答案】B【解析】直线与x轴的交点即为y=0时的x值，解方程2x+1=0得x=-1/2，所以交点坐标为-1/2，0，但选项中没有这个答案，可能是题目有误

10.若fx是偶函数，且f2=3，则f-2的值为（）（2分）A.-3B.3C.0D.1【答案】B【解析】偶函数的性质是f-x=fx，所以f-2=f2=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是三角函数的基本性质？（）A.周期性B.奇偶性C.单调性D.对称性【答案】A、B、C、D【解析】三角函数具有周期性、奇偶性、单调性和对称性等基本性质

2.以下哪些图形是轴对称图形？（）A.等腰三角形B.平行四边形C.矩形D.圆【答案】A、C、D【解析】等腰三角形、矩形和圆是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形

3.等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则其公比q为（）（4分）A.3B.2C.1/3D.1/2【答案】A【解析】由等比数列的通项公式a_n=a_1q^n-1，得a_4=a_2q^2，代入a_2=6，a_4=54，解得q^2=9，q=

34.以下哪些函数在其定义域内是增函数？（）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=e^xD.y=lnx【答案】B、C、D【解析】y=2x+1是一次函数，斜率为正，是增函数；y=e^x是指数函数，是增函数；y=lnx是对数函数，是增函数；y=x^2是二次函数，在0，+∞上增

5.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个集合的交集是它们各自的子集D.两个集合的并集是它们各自的子集【答案】A、C【解析】空集是任何集合的子集是真命题；任何集合都有补集是假命题；两个集合的交集是它们各自的子集是真命题；两个集合的并集是它们各自的子集是假命题

三、填空题

1.若fx=x^2-3x+2，则f0的值为______（4分）【答案】2【解析】代入x=0，得f0=0^2-3×0+2=

22.在直角三角形中，若一个锐角为30°，则另一个锐角为______（4分）【答案】60°【解析】直角三角形的两个锐角互余，所以另一个锐角为90°-30°=60°

3.若向量a=3，-1，向量b=1，2，则向量a·b的值为______（4分）【答案】7【解析】向量a与向量b的数量积为a·b=3×1+-1×2=3-2=

14.函数y=sin2x+π/3的最小正周期为______（4分）【答案】π【解析】正弦函数y=sinωx+φ的周期为2π/|ω|，所以最小正周期为2π/2=π

5.若方程x^2-2x+k=0有两个相等的实根，则k的值为______（4分）【答案】1【解析】由判别式Δ=b^2-4ac得-2^2-4×1×k=0，解得k=1

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】例如取a=2，b=-3，则ab但a^2=4，b^2=9，所以a^2b^2不成立

2.两个相似三角形的周长之比等于它们的面积之比（）（2分）【答案】（√）【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，所以周长之比等于面积之比不成立

3.若fx是奇函数，且f1=2，则f-1的值为-2（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数的性质是f-x=-fx，所以f-1=-f1=-

24.一个圆柱的底面半径为r，高为h，则其体积为πr^2h（）（2分）【答案】（√）【解析】圆柱的体积公式为V=底面积×高=πr^2h

5.对任意实数x，都有e^x0（）（2分）【答案】（√）【解析】指数函数e^x的值域为0，+∞，所以对任意实数x，都有e^x0

五、简答题

1.求函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-1，3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为f1=0，最小值为f-1=-6【解析】首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，计算得f1=0，f-1=-6，f3=9，所以最大值为f3=9，最小值为f-1=-

62.证明在直角三角形中，如果一条直角边是另一直角边的两倍，则该直角边所对的角为30°（5分）【答案】设直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2BC，则tanB=BC/AC=1/2，所以∠B=30°【解析】设BC=x，AC=2x，由勾股定理得AB^2=AC^2+BC^2=4x^2+x^2=5x^2，所以AB=x√5，tanB=BC/AC=x/2x=1/2，由反正切函数得∠B=30°

3.求过点A1，2且与直线y=3x-1平行的直线方程（5分）【答案】y=3x-1【解析】过点A1，2且与直线y=3x-1平行的直线的斜率相同，所以直线方程为y-2=3x-1，即y=3x-1

六、分析题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=S_n/n+1（n≥2），求证数列{a_n}是等差数列（10分）【答案】证明由a_n=S_n/n+1得S_n=na_n-1，当n≥2时，S_{n-1}=n-1a_{n-1}-1，所以a_n=S_n-S_{n-1}=na_n-1-n-1a_{n-1}-1，化简得n-1a_n=n-1a_{n-1}，即a_n=a_{n-1}，所以数列{a_n}是等差数列

2.已知函数fx=x^2-2x+3，求函数fx在区间[1，3]上的最大值和最小值（10分）【答案】最大值为f3=6，最小值为f1=2【解析】首先求导数fx=2x-2，令fx=0得x=1，计算得f1=2，f3=6，所以最大值为f3=6，最小值为f1=2

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元，求该工厂的盈亏平衡点（20分）【答案】盈亏平衡点为125件【解析】设生产x件产品，总收入为80x元，总成本为10000+50x元，盈亏平衡时总收入等于总成本，即80x=10000+50x，解得x=125，所以盈亏平衡点为125件。