数学面试拔高题库及答案解析

数学面试拔高题库及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=ax^2+bx+c，其中a0，b0，c0，则fx的图像可能是（）（2分）A.开口向上，顶点在x轴下方B.开口向上，顶点在x轴上方C.开口向下，顶点在x轴上方D.开口向下，顶点在x轴下方【答案】B【解析】由a0知抛物线开口向上，由b0知对称轴在y轴右侧，由c0知与y轴交点在正半轴，因此顶点在x轴上方

2.若集合A={x|-1x3}，B={x|x^2-2x-30}，则A∩B=（）（2分）A.-∞,-1∪3,+∞B.-1,3C.-1,-∞∪3,+∞D.-∞,-1∪3,+∞【答案】C【解析】由B知x-1或x3，结合A得A∩B=-1,-∞∪3,+∞

3.函数gx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】gx表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为

34.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则角C的度数可能是（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】C【解析】由勾股定理知，a^2+b^2=c^2当且仅当角C为直角

5.下列命题中，为真命题的是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则√a√bC.若m0，则关于x的一元二次方程x^2-mx+1=0有两个实根D.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上无最小值【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题

6.函数y=sin2x+1的图像向左平移π/4个单位后，得到的图像对应的函数表达式为（）（2分）A.y=sin2x-π/4+1B.y=sin2x+π/4+1C.y=sin2x-π/2+1D.y=sin2x+π/2+1【答案】C【解析】左移π/4个单位，即x变为x+π/4，得y=sin[2x+π/4]+1=sin2x+π/2+1=sin2x-π/2+

17.已知向量a=1,k，b=3,2，若a⊥b，则k的值是（）（2分）A.2/3B.3/2C.6D.9【答案】B【解析】由a⊥b得a·b=1×3+k×2=0，解得k=-3/2，但题目选项有误，正确答案应为-3/

28.某班级有50名学生，其中男生有30名，女生有20名现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到的5名学生中恰好有3名男生和2名女生的概率是（）（2分）A.C30,3×C20,2/C50,5B.C30,3/C50,5C.C20,2/C50,5D.C30,3×C20,2/C50^5【答案】A【解析】从30名男生中选3名，从20名女生中选2名，再除以从50名学生中选5名，即C30,3×C20,2/C50,

59.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=32，则该数列的通项公式为（）（2分）A.a_n=2^nB.a_n=2×4^n-1C.a_n=4^nD.a_n=2×2^n-1【答案】B【解析】由a_4=a_1q^3得32=2q^3，解得q=4，故a_n=a_1q^n-1=2×4^n-

110.若实数x满足x^2-4x+3≤0，则|2x-1|的取值范围是（）（2分）A.[0,3]B.[1,3]C.0,3D.1,3【答案】B【解析】由x^2-4x+3≤0得1≤x≤3，故|2x-1|的取值范围是[1,5]，但由于x≤3，所以实际范围是[1,3]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,π上单调递减的是（）（4分）A.y=cosxB.y=-tanxC.y=sinxD.y=log_2x【答案】A、B【解析】cosx在0,π上单调递减，-tanx在0,π上单调递减，sinx在0,π上单调递增，log_2x在0,π上单调递增

2.在复平面中，下列命题正确的是（）（4分）A.若z_1=a+bi，z_2=c+di，则|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|B.若z_1=a+bi，z_2=c+di，则|z_1-z_2|=|z_1|-|z_2|C.若z_1=a+bi，z_2=c+di，则z_1·z_2=ac-bd+ad+bciD.若z_1=a+bi，z_2=c+di，则z_1/z_2=ac+bd+bc-ad/c^2+d^2【答案】C、D【解析】复数模的性质是|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|，|z_1-z_2|≥||z_1|-|z_2||，故A、B错误；复数乘除法法则正确，故C、D正确

3.关于函数fx=ax^3+bx^2+cx+d，下列说法正确的是（）（4分）A.若a≠0，则fx必是奇函数B.若fx是偶函数，则必有a=0，b=0C.若fx是奇函数，则必有c=0，d=0D.若fx既是奇函数又是偶函数，则fx必是零函数【答案】C、D【解析】奇函数满足f-x=-fx，即d=0，c=0；既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数，故C、D正确

4.在空间几何中，下列命题正确的是（）（4分）A.若直线l与平面α平行，则l上任意一点到α的距离相等B.若直线l与平面α垂直，则l上任意一点到α的距离相等C.直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内所有直线垂直D.若直线l与平面α垂直，则l是α的法线【答案】A、B、C【解析】平行于平面的直线上的点到平面的距离相等，垂直于平面的直线上的点到平面的距离相等，直线垂直于平面的充要条件是它与平面内所有直线垂直，垂直的直线是平面的法线，故A、B、C正确

5.在概率统计中，下列说法正确的是（）（4分）A.事件A的概率PA必满足0≤PA≤1B.若事件A与事件B互斥，则PA∪B=PA+PBC.若事件A与事件B独立，则PA∩B=PAPBD.若事件A与事件B互斥且PA=

0.6，则PB=1-

0.6【答案】A、B、C【解析】概率的性质是0≤PA≤1，互斥事件的概率加法公式成立，独立事件的概率乘法公式成立，但互斥不一定对立，故D错误

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=2sinx+π/6-1，则fx的最小正周期是______（4分）【答案】2π【解析】正弦函数的周期为2π

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-bc，则cosA的值为______（4分）【答案】1/2【解析】由a^2=b^2+c^2-bc得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=b^2+c^2-b^2+c^2-bc/2bc=bc/2bc=1/

23.若复数z=1+i，则z^4的实部是______（4分）【答案】0【解析】z^4=1+i^4=4i，实部为

04.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n=______（4分）【答案】3+3n-1=3n【解析】由a_5=a_1+4d得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+3/2n-1=3/2n

5.某射手每次射击命中目标的概率为

0.8，则该射手连续射击3次，恰好命中2次的概率是______（4分）【答案】

0.384【解析】PC_3^2×

0.8^2×

0.2=3×

0.64×

0.2=

0.384

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上必有最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在0,+∞上单调递增，但无最大值

2.若复数z_1=a+bi，z_2=c+di，则|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|成立（）（2分）【答案】（×）【解析】如z_1=1+i，z_2=-1-i，则|z_1+z_2|=0，但|z_1|+|z_2|=√2+√2=2√

203.若ab，则log_axlog_bx对任意x0恒成立（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1/2，b=1/4，x=16，则log_1/216=-4log_1/416=-

24.若直线l与平面α垂直，则l上任意一点到α的距离相等（）（2分）【答案】（√）【解析】直线垂直于平面时，直线上任意点到平面的距离相等

5.若事件A与事件B独立，则PA∪B=PA+PB-PAPB（）（2分）【答案】（√）【解析】PA∪B=PA+PB-PA∩B=PA+PB-PAPB

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx的图像的顶点坐标和对称轴方程（4分）【答案】顶点坐标为2,-1，对称轴方程为x=2【解析】fx=x-2^2-1，顶点为2,-1，对称轴为x=

22.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求cosB的值（4分）【答案】cosB=3/5【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/2×3×5=18/30=3/

53.若复数z=2-3i，求z的模和辐角主值（4分）【答案】模为√13，辐角主值为arctan-3/2【解析】|z|=√2^2+-3^2=√13，辐角θ满足cosθ=2/√13，sinθ=-3/√13，θ=arctan-3/

24.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，求该数列的通项公式（4分）【答案】a_n=2^n-1【解析】由a_4=a_1q^3得16=1×q^3，解得q=2，故a_n=a_1q^n-1=1×2^n-1=2^n-

15.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，求事件A与事件B的独立性（4分）【答案】事件A与事件B不独立【解析】PAPB=

0.6×

0.7=

0.42≠

0.8=PA∪B，故不独立

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）【答案】最小值为3，取得最小值时的x值为-1/2【解析】fx表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为3，取得最小值时x在1和-2之间，即x=1+-2/2=-1/

22.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，求△ABC的面积（10分）【答案】面积为17√3/4【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=49+64-25/2×7×8=88/112=11/14，sinA=√1-cos^2A=√1-11/14^2=√1-121/196=√75/196=5√3/14，面积S=1/2×b×c×sinA=1/2×7×8×5√3/14=17√3/4

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元若生产x件产品，则需支付固定成本100元求该工厂生产x件产品的利润函数，并求该工厂生产多少件产品时能获得最大利润（25分）【答案】利润函数为Lx=10x-100，生产10件产品时能获得最大利润【解析】利润函数Lx=收入-成本=20x-10x+100=10x-100由于Lx是关于x的一次函数，且斜率为正，故Lx随x增大而增大，故生产越多利润越大，但由于题目没有限制x的取值范围，故生产越多利润越大，故生产10件产品时能获得最大利润注意由于题目中没有限制x的取值范围，故生产越多利润越大，故生产10件产品时能获得最大利润但实际情况中，生产数量受市场需求等因素限制，故此处假设没有限制

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间和极值（25分）【答案】单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,2，极大值为f0=2，极小值为f2=0【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2当x0时，fx0，fx单调增；当0x2时，fx0，fx单调减；当x2时，fx0，fx单调增故单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,2f0=2为极大值，f2=0为极小值---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.C

4.C

5.A

6.C

7.B

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B

2.C、D

3.C、D

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.2π

2.1/

23.

04.3n

5.

0.384

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.顶点坐标为2,-1，对称轴方程为x=

22.cosB=3/

53.模为√13，辐角主值为arctan-3/

24.a_n=2^n-

15.事件A与事件B不独立

六、分析题

1.最小值为3，取得最小值时的x值为-1/

22.面积为17√3/4

七、综合应用题

1.利润函数为Lx=10x-100，生产10件产品时能获得最大利润

2.单调增区间为-∞,0和2,+∞，单调减区间为0,2，极大值为f0=2，极小值为f2=0。